控制系統參數優化方法已有許多文獻作了論述^[1][2][3]，
　　這些方法大多是基于估計目標函數對優化變量的梯度信息進行優化。而對非線性控制系統參數優化問題，由于控制系統具有非線性特性，基于估計目標函數對優化變量的梯度信息進行優化的方法就顯得無能為力了。
　　遺傳算法是最新興起的智能計算技術，是一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制的高度并行、隨機自適應搜索算法，具有能快速有效地搜索復雜、高度非線性的多維空間的特點，通過反復迭代，最終能夠找到全局最優。由于遺傳算法是在解空間的多個區域內進行搜索，能以較大的概率跳出局部最優，因此可找到整體最優解。仿真結果表明，該方法是一種有效的方法。它主要用于處理最優化問題和機器學習。隱含并行性和有效利用全局信息是遺傳算法的兩大顯著特點，前者使遺傳算法只須檢測少量的結構就能反映搜索空間的大量區域；后者使遺傳算法具有穩健性。遺傳算法尤其適于處理傳統搜索方法解決不了的復雜的非線性問題。
　　本文提出的仿真優化方法采用了實數編碼方案，確定了適應值函數的度量，選擇了群體規模、代數、遺傳算子及其概率參數、停止準則等控制參數初始值，并給出了仿真實例。結果表明，該方法是一種有效的非線性控制系統參數優化方法。
1 問題的描述
1.1 函數優化問題的描述
　　函數優化問題可以描述為：
　　

　　這里SRⁿ稱為搜索空間，f:S→R稱為目標函數，(1)式描述的優化問題稱為極大化問題，(2)式描述的稱為極小化問題。
　　定義1　對最優化問題(1)式，設x·∈S，若存在δ＞0,使得當x∈S∩{x:‖x－x·‖＜δ}時有:
　　f(x·)≥f(x)　　　　　　(3)
　　則稱x·是f在S上的一個局部最優點，解f(x·)稱為一個局部最優值。若(3)式中的嚴格不等式成立，則x·和f(x·)分別稱為嚴格局部最優點和嚴格局部最優值。
　　定義2　對最優化問題(1)式，設x·∈S，若存在δ＞0,使得對任意x·∈S都有:
　　f(x·)≥f(x)　　　　　　(4)
　　則稱x·是f在S上的一個全局極大點或整體最優點，f(x·)稱為整體最優值。若(4)式中的嚴格不等式成立，則x·和f(x·)分別稱為嚴格整體最優點和嚴格整體最優值。
1.2 遺傳算法的描述
　　遺傳算法是從任一初始化的群體出發，通過隨機選擇、雜交和變異等遺傳操作，使群體一代一代地進化到搜索空間中越來越好的區域，直至抵達最優解點，即高適應值點。該算法可表述為：
　　Ω_k＝U_k∪V_k
　　U_k＝{I₁,I₂…,I_M}
　　V_k＝{I_M+1,I_M+2…,I_N}
　　E_c:I_i→S_i
　　D_c:S_i→I_i
　　F_i＝ff(I_i) 1≤i≤N
其中:Ω_k——第k代群體；
　　 U_k——第k代群體中的父代；
　　 V_k——第k代群體中的子代；
　　 I_k——第k代群體中的每個個體；
　　 E_c——編碼算子；
　　 D_c——譯碼算子；
　　 S_i——個體Ii被編碼后的碼串a₁a₂…a₁；
　　 ff——適應值函數。
　　遺傳操作的隨機選擇可描述為：
　　
　　表示適應值越大的個體進入子代且機會越多，執行選擇的概率就越高。
　　遺傳操作的雜交可描述為：
　　
　　如果隨機實數小于雜交率Pc，則執行雜交，否則執行復制。
　　遺傳操作的變異可描述為:

　　?? ELSE NULL

　如果隨機實數小于變異率P_m，則產生一隨機整數r，并在第r位執行變異。
2 基于非線性控制系統優化的遺傳算法
　　非線性控制系統參數優化問題屬于非線性優化問題。對于非線性優化問題，只有在函數性質比較好(可微、駐點能解析地計算等)的情況下，才能獲得滿意的結果。對于復雜的函數優化問題，一般只能采用基于迭代原理的數值解法，但這些解法通常難以找到全局最優解，而且仍然要對求解函數的性質作諸多的限制。而遺傳算法在解決這類問題時通常能發揮它的優勢。
　　當遺傳算法用于求解非線性控制系統參數優化問題時，需要解決兩個問題：非線性控制系統的模型仿真和遺傳算法的設計。兩者聯系的紐帶是目標函數的獲取以及目標函數轉換成適應值函數。在非線性控制系統參數優化方法中，目標函數可采用多種定義，如誤差平方積分、時間乘誤差平方積分、誤差絕對值積分及加權二次型性能指標等，它取決于非線性控制系統的誤差。非線性控制系統參數優化的前提是希望產生的誤差最小，求解目標很自然地被表示成某個目標函數f(x)的極小化，而不是某個適應值函數F(x)的極大化。因此，常常需要通過一次或多次變換把目標函數f(x)轉化為適應值函數F(x)。目前經常用到的適應值函數變換方法有：線性比例變換、冪比例變換、指數比例變換及引入某一比例參數等。一旦獲得了適應值函數，即可進行遺傳操作，所以，非線性控制系統的模型仿真是不能獨立于遺傳算法的設計的，兩者應統一起來考慮。其程序流程圖如圖1所示。

　　首先隨機生成一初始群體，并確定編碼方案及遺傳算法初始化參數;接著對群體中的個體進行譯碼，該譯碼值即為非線性控制系統的尋優參數，這樣就可對非線性控制系統進行動態仿真，獲得誤差目標函數;再通過一函數變換，目標函數即可轉化成適應值函數;最后根據適應值的大小，執行選擇、雜交和變異等遺傳操作，直到滿足終止條件為止。
　　對于非線性控制系統的模型仿真，本文采用的是MATLAB的SIMULINK軟件，由于尋優參數是變量，因此對不同的問題要設計不同的S函數，可參閱文獻[4][5][6]。對于遺傳算法的設計，需要考慮下面幾方面的問題:
　　(1)確定編碼方案：編碼方案的選擇對算法的性能、效率等產生很大的影響。遺傳算法在求解高維或復雜問題時常常使用實數編碼。實數編碼表示比較自然，而且較易引入非線性控制系統領域內的知識。搜索空間S上的每個點x可表示為一個n維實向量，其中n表示遺傳算法優化參數的個數。
　　(2)控制參數初始化的確定：選擇一個整數M作為群體規模的參數，然后從S上隨機地選取M個點x(i,0),i＝1…，M，這些點組成初始群體P(0)＝{x(1,0),…，x(M,0)}。群體規模影響遺傳算法的最終性能和效率。群體規模的經驗取值一般為M＝20～100。
　　雜交概率是控制雜交算子的應用頻率，雜交率越高，群體中串的更新就越快，這樣高性能的串被破壞得也就越快；而雜交率過低，搜索可能會停滯不前。雜交率的經驗取值一般為pc＝0.60～0.95。變異是增加群體的多樣性，變異概率經驗取值一般為p_m＝0.001～0.01。
　　(3)確定適應值函數：適應值用來區分群體中個體的好壞，適應值越大的個體性能越好，反之，適應值越小的個體性能越差。遺傳算法正是基于適應值對個體進行選擇，以保證適應值好的個體有機會在下一代中產生更多的子個體。
　　設f(x)為非線性控制系統的目標函數，C_max為其最大值，則適應值函數F(x)可表示為:
　　
　　其中，x∈SRⁿ，f(x)為一泛函，表示控制系統誤差函數的函數。
　　(4)確定選擇策略：優勝劣汰的選擇機制使得適應值大的解有較高的存活概率，這是遺傳算法與一般搜索算法的主要區別之一。對每個個體x(i,k)，其生存概率為：
　　

　　其中k表示代數，則每個個體的繁殖量為N_i＝round(p_i^k·N)，其中round(x)表示與x距離最小的整數。顯然，個體x(i,k)的生存概率p_i^k越大，繁殖量Ni也越大，進行交配的機會也就越多。
　　(5)設計遺傳算子：遺傳算子包括繁殖算子、雜交算子和變異算子。雜交算子是模擬生物界的有性繁殖，它的引入是遺傳算法區別于其它所有優化算法的根本所在，同時也是遺傳算法中最重要的部分。變異算子可視為與繁殖算子或雜交算子一起連續發生的操作，故一個給定個體可以在一代內進行繁殖和變異，或進行雜交和變異。
　　在非線性控制系統參數優化中，由于采用了實數編碼方案，設計遺傳算子時就應以實數編碼方案為前提。在實數編碼時，雜交算子有離散雜交和算術雜交兩種方式，本文采用離散雜交方式。在實數編碼時，變異算子有均勻性變異、正態性變異、非一致性變異、自適應性變異和多級變異幾種方式，本文采用均勻性變異算子。
　　(6)確定算法的終止準則：由于遺傳算法沒有利用目標函數的梯度等信息，所以無法確定個體在解空間的位置，從而無法用傳統的方法來判定算法的收斂與否以終止算法。通常是預先規定一個最大代數或算法在連續多少代以后解的適應值沒有明顯改進時，即終止。
3 仿真實例
　　已知一非線性控制系統，由飽和非線性環節、速率限制非線性環節和三階系統組成，系統參數及其結構框圖如圖2所示。這是工業控制系統中存在較多的一種典型控制過程，該系統的單位階躍響應如圖3所示。從系統的單位階躍響應可以看出，這是一不穩定的振蕩非線性系統。對這一不穩定的非線性控制系統，通常采用PID調節器進行校正，校正后其結構框圖如圖4所示。

　　設PID調節器的傳遞函數為：
　　
　　其中，K_P、T_I、T_D分別為PID調節器比例、積分、微分的尋優參數。用MATLAB仿真時，將PID調節器設計為比例、積分、微分參變量的S函數，這樣可以方便遺傳算法的求解。
　　從圖4可知，誤差信號為e(t)＝r(t)－y(t)，取目標函數為誤差平方積分，即，其中積分上限t應以調節時間為基準，選得足夠大，本文選50s或100s。根據目標函數的定義及誤差的大小，從目標函數到適應值函數的變換為:
　　
　　仿真實現時，設PID調節器給定最優化初始值為K_P＝0.63，T_I＝0.0504s,T_D＝1.9688s。對于這組初始值，可得系統的單位階躍響應，如圖5所示。采用圖1所示的遺傳算法時，設群體規模N＝10，雜交概率p_c＝0.25，變異概率p_m＝0.001，最大代數k＝10，因此可得PID調節器最優化參數值為K_P＝3.6232，T_I＝0.1175s,T_D＝16.9950s,此時系統的單位階躍響應如圖6所示。采用文獻[6]所述的常規方法進行優化時，最優化參數為KP_P＝1.3353，T_I＝0.1547s,T_D＝8.3280s，此時系統的單位階躍響應如圖7所示。

??