問題理解
使用數字濾波器時需要考慮的一個重要問題是信號電平對其數字到模擬域轉換產生的影響。假設系統為處理單元提供數字信號，并在沒有進行任何處理的情況下，使用一種理想的 DAC將其轉換為模擬，如圖1所示。本例中，我們將0-dBFS數字信號供給DAC，并把它轉換成模擬域。滿量程振幅信號編解碼器規范中說明了數字編碼和模擬輸出振幅之間的關系。如果滿量程振幅規范為0.707 VRMS（即1peak），這就意味著滿量程0-dBFS數字正弦波將會產生1-Vpeak的正弦波，如圖所示。
如果DAC的限制為–2n–1和2n–1–1，由于在輸出端對其進行削波處理，因此對超出這些限制的信號進行放大處理會使信號失真（假設飽和邏輯），如圖2所示。請注意，大多數信號處理器一般在向DAC提供數據以前都允許一定量的余量。處理器內存中的數據保持不失真很重要。圖2描述了超出限制時可能會出現輸出削波的一些DAC輸入限制。
圖1：表示為1-Vpeak模擬信號的滿量程數字信號
圖2：數字域的過多增益可使信號超出DAC的上下限
這個問題的一種解決方案是保證放大信號時不超出DAC的限制（即保證不將正增益應用于源信號）。然而，許多情況下，這種解決方案的效果并不那么明顯。在某個具體頻率范圍內，相對于滿量程DAC輸入振幅執行一次信號增強，也會帶來一些不利影響。圖3中，500-Hz信號增強6 dB。我們在模擬輸出中觀測到失真，這是由于DAC削波。
圖3：指定頻率帶的可能升壓效果
圖4同樣描述了這種概念。請注意，當傳遞到處理器內存的更大總線寬時，源數據的噪聲得到了繼承。如前所述，數據下調量為最大總信號增強量，以適應增強區域。但是，如圖5 所示，即使增強參考點位于某個較好的位置，DAC信號也會受到輸出SNR的影響。如果信號增強量并未極大地損害總系統SNR，則簡單的調節或許是一種可行的解決方案。一些低功耗編解碼器擁有100dB的SNR，其允許在不犧牲原始16位源SNR的情況下，進行一定量的調節。
圖4：全數字信號鏈的信號組成
圖5：使用調節時的信號組成
問題理解
使用數字濾波器時需要考慮的一個重要問題是信號電平對其數字到模擬域轉換產生的影響。假設系統為處理單元提供數字信號，并在沒有進行任何處理的情況下，使用一種理想的 DAC將其轉換為模擬，如圖1所示。本例中，我們將0-dBFS數字信號供給DAC，并把它轉換成模擬域。滿量程振幅信號編解碼器規范中說明了數字編碼和模擬輸出振幅之間的關系。如果滿量程振幅規范為0.707 VRMS（即1peak），這就意味著滿量程0-dBFS數字正弦波將會產生1-Vpeak的正弦波，如圖所示。
如果DAC的限制為–2n–1和2n–1–1，由于在輸出端對其進行削波處理，因此對超出這些限制的信號進行放大處理會使信號失真（假設飽和邏輯），如圖2所示。請注意，大多數信號處理器一般在向DAC提供數據以前都允許一定量的余量。處理器內存中的數據保持不失真很重要。圖2描述了超出限制時可能會出現輸出削波的一些DAC輸入限制。
圖1：表示為1-Vpeak模擬信號的滿量程數字信號
圖2：數字域的過多增益可使信號超出DAC的上下限
這個問題的一種解決方案是保證放大信號時不超出DAC的限制（即保證不將正增益應用于源信號）。然而，許多情況下，這種解決方案的效果并不那么明顯。在某個具體頻率范圍內，相對于滿量程DAC輸入振幅執行一次信號增強，也會帶來一些不利影響。圖3中，500-Hz信號增強6 dB。我們在模擬輸出中觀測到失真，這是由于DAC削波。
圖3：指定頻率帶的可能升壓效果
圖4同樣描述了這種概念。請注意，當傳遞到處理器內存的更大總線寬時，源數據的噪聲得到了繼承。如前所述，數據下調量為最大總信號增強量，以適應增強區域。但是，如圖5 所示，即使增強參考點位于某個較好的位置，DAC信號也會受到輸出SNR的影響。如果信號增強量并未極大地損害總系統SNR，則簡單的調節或許是一種可行的解決方案。一些低功耗編解碼器擁有100dB的SNR，其允許在不犧牲原始16位源SNR的情況下，進行一定量的調節。
圖4：全數字信號鏈的信號組成
圖5：使用調節時的信號組成
量化與數字表示法
在數字處理過程中，實數表示為一個具有固定精度的整數值。這被稱作為量化法，而量化值是一個原始值的近似值。整數值可以表示為一個定點數或者浮點數。表示為定點數的某個整數值由數字位和小數位組成。表示為浮點數的某個整數值由指數位和尾數位組成。本討論全部規定為定點數和定點運算。
在數字處理過程中，實數表示為一個具有固定精度的整數值。這被稱作為量化法，而量化值是一個原始值的近似值。整數值可以表示為一個定點數或者浮點數。表示為定點數的某個整數值由數字位和小數位組成。表示為浮點數的某個整數值由指數位和尾數位組成。本討論全部規定為定點數和定點運算。定點數表示為小數點（十進制小數點）后固定數位的二進制補碼整數。這些數字組成數值的小數部分。小數點前面的數字為整數部分，并表示數值的范圍。整數部分還包含數值的符號。
進入音頻處理器的數字數據被認為是位于-1和1-1LSB之間的一個實數。假設實值表示為一個16位定點數， 則數值-1可以以二進制表示為1000000000000000（或者十六進制的 0x8000）。在二進制補碼運算中，0x8000對應一個等于–32768的整數值。這就意味著，該整數值除以32768可以得到實值的量化近似值。二進制的16位最大正數為0111111111111111（或者十六進制的0x7FFF）。對應整數值為32767。將其除以32768換算系數，得到這種模式表示的最大實數。該數值為32767/32768 = 0.999969482421875。圖6 顯示了這種定點表示法。
圖6：實數的定點表示法
這種表示法中，共有15個小數位和1個整數位，同時也為符號位。這就意味著，量化以前實數必須位于-1和0.999969482421875之間。如果實數超過或者低于這一范圍，其便無法以給定格式表示，因為 16 位寄存器會溢出。為了容納更大的實數，我們需要增加整數部分，代價是減少小數部分。這種格式也被稱作1.15格式（1=數字位，而15=符號位）。數字處理器的輸入始終以 1.n 格式表示，其中n為小數位數（15、19、23或者31）。0dBFS值對應于滿量程正弦波的RMS值，而該正弦波的幅值為 （2n–1）/2n。給定格式的最大實數以2n表示。用于表示某個信號的位數被稱作信號位寬或者數據位寬。
溢出與飽和
處理單元計算產生值大于數據位寬值時出現溢出。溢出一般與累加器的計算有關，其相同符號的連續數值相加，然后存儲起來。即使出現溢出以后，累加器一般還是會繼續累加，因為只要不超出邊界仍然還是會得到正確的最終結果。
在其被存儲為信號值以前，累加器輸出就已飽和。飽和是一個正溢出轉換為最大正數而負溢出轉換為最小負數的過程。飽和是一種非線性運算，并導致出現嚴重的輸出諧波失真。我們使用余量位來防止飽和。
信號位
信號和噪聲位影響系統性能。數字音頻處理器增加量化噪聲，整體性能是模擬電路噪聲和量化噪聲的結果。假設兩個噪聲源都為獨立隨機過程的結果，則總系統噪聲性能可定義為：
其中S為均勻分布的隨機信號，NC為DAC電路噪聲，而NQ為量化噪聲。使用100-dB DAC和120-dB信號處理器，會產生99.96 dB的總SNR。
我們應該注意到，總SNR也受到源—數字音頻處理器輸入的限制。如果輸入為16位數，則系統的信號量化噪聲比（SQNR）至多為96 dB（假設為均勻分布的隨機信號，未加權）。因此，在這種情況下，就算是更高位的內部表示（更低的 NQ）也不會有明顯的改善。
噪聲位
如前所述，信號位數決定數字音頻系統的性能。有時，濾波器響應計算會需要更多的位數。
濾波器實施包括一個信號流經并被存儲為濾波器延遲元的數據通路。信號和延遲值乘以濾波器抽頭相關系數。系數量化也對系統性能產生非常重要的作用。信號和系數值的積被存儲在累加器中，其一般比信號具有更高的位寬。后續的積在累加器中相加（更高位寬），而最終濾波器輸出再以信號精度存儲（更低位寬）。
請思考圖7所示雙二階濾波器實現。圖中，輸入和輸出信號均以“A 位”表示。A和b系數以“B 位”表示。輸入信號及其延遲元乘以系數，并在累加器相加。乘法器和累加器一共為 A+B位寬。之后，輸出信號被Q模塊量化，然后存儲為一個A位數。這樣便產生量化誤差，其為數字濾波器的噪聲源；因此，需要額外的位來確保數字濾波器的噪聲影響低于目標SNR。這些額外位被稱作噪聲位。相比有限脈沖響應（FIR）濾波器，噪聲對IIR濾波器的影響更加明顯。噪聲位數還取決于數字濾波器的采樣頻率和截止頻率。隨著采樣頻率上升，要求的噪聲位數也增加。隨著截止頻率下降，要求噪聲位數也隨之增加。48-kHz工作時，14到16噪聲位便足以維持40-Hz濾波器的目標SNR。
圖7：雙二階濾波器實施
余量位
除了信號和噪聲位，還需要更多的位來防止溢出。這些位被稱作余量位。端到端音頻處理鏈一般會保持信號電平。這就意味著，如果0-dB信號為信號鏈的輸入，則輸出為0dB或者更低。（一般會有一個能將信號擺動限制到零以下幾分貝的信號壓縮器。）如果我們使用升壓濾波器來放大某些的信號頻帶，則其它頻帶一般會被衰減，以阻止信號升至0dB以上。就后一種情況而言，當輸入信號電平為0dB時（也稱作中性信號電平），輸出信號會低于0dB，且僅放大后的頻帶會在輸出端達到0dB。這樣會降低音頻信號的平均音量水平。
盡管信號電平維持在0dB，但在中間處理點信號還是會溢出。為了防止溢出，我們需要余量位—即除信號和噪聲位以外的位。
共有兩個溢出源：
1、音頻處理鏈可以具有一個（在某些具體頻率值）增益大于0dB 的濾波器。該濾波器可以為一個級聯濾波器鏈（例如：低通、高通和/或帶通濾波器等）的組成部分，其總增益為0dB，或者也可以是一個放大中性信號電平相關具體頻率帶的頻率選擇濾波器（例如：現成的EQ濾波器）。請注意，如果實數以1.n格式表示（其中n為小數位數），則數字的大小始終小于1。因此，如果使用一個0dB以上增益（大于1的實數）的濾波器，則輸入值為 0dB（等于1的一個實數）時濾波器的輸出值將會溢出。為了防止在這類情況下出現溢出，我們需要更多的余量位。
2、增益小于或者等于0dB的濾波器會有大于1的瞬態實值。為了確保這些瞬態值不溢出，需要使用余量位。
圖8顯示了音頻處理器中信號的圖示。需要注意的重要一點是，余量位主要用于適應中間信號增長。預計在最終處理模塊的末端，輸出將會恰好位于信號位寬內。另外，低信號振幅時，輸出仍然會在限制以內，而不會失真；但是，高信號振幅時，輸出將會飽和，并引起失真。為了防止出現失真，最好是在最終輸出以前讓信號衰減。
圖8：余量位信號表示法
調節
調節用于避免增益超出0dB的濾波器出現飽和。我們可以專門使用一個升壓濾波器，獲得某個特定頻率。即使是一個多節低通濾波器也會有一個雙二階節，其實際獲得某些高于有效余量的頻率（總響應仍然為0dB）。在這種情況下，使用還是不使用調節方法，取決于輸入信號電平乘以總濾波器響應的最大增益。如果乘積大于有效DAC余量，則可以使用調節方法來避免飽和。
一種調節方法是讓系統的傳輸函數衰減一定量，該量的大小等于濾波器傳輸函數的最大振幅。調節因數可以定義為：
其中0≤ω ≤ π。第二種方法是將輸入信號做S調節。圖9展示了調節傳輸函數的效果。滿量程正弦波為傳輸函數的輸入，其讓平坦頻率衰減6dB。相對于–6dBFS，1-kHz 信號增強了6 dB。
圖9：傳輸函數調節
在一些情況下，由于濾波器結構和瞬態信號序列，濾波器的輸出會高于0dB，盡管其并沒有0dB以上的增益。如果單個內存單元為0dB，且符號與抽頭相反，則FIR濾波器可以使信號增益增加的量為濾波器抽頭絕對值的和。濾波器響應不能超出0dB，因此要使用額外余量。IIR濾波器額外余量的計算較為復雜，因為它們有許多反饋單元，同時要找到決定瞬態增益上限的閉型表達式是一個復雜的過程。實際上，信號處理器提供額外余量（DAC 限制以上）的原因之一是允許瞬態值余量。我們可能會需要進行一些測量，來計算額外余量。某些情況下，可能需要對SNR做一些讓步，以處理飽和帶來的失真問題，同時還可能會需要增加模擬增益來讓信號歸于0dB。
使用調節方法，有時需要在模擬輸出級中添加額外增益（升壓）來進行補償。應特別注意的是，要確保升壓區域的信號不會使輸出放大器飽和，因為它會導致出現失真信號。在處理器的最終輸出級同樣也有升壓，目的是對信號調節進行補償。這是一些多節、0dB濾波器所要求的，其信號調節的目的是防止一個或多個單節出現溢出。就那些獲得0dB以上頻率的濾波器（現成的EQ濾波器）來說，中性信號電平被調節至0dB以下。這種情況下，并不要求末級升壓。結果是損失了平坦區域的SNR。
一種更講究的解決方案是根據數字處理器應用的音量增益來限制濾波器增益的大小，其非常適合于耳機應用。在高音量時，降低頻率升壓并最終在全音量時為平坦。
在一些情況下，頻率升壓保持恒定，而在高音量時對信號進行壓縮。這便是抗削波動態范圍壓縮器 （DRC） 功能：低音量時，保持原始SNR；但隨著音量的增加，調節度也成比例增加來防止出現失真。
不管使用哪種方法，充分考慮人們對聲音和噪聲的感知過程都是很重要的。人的聽覺有一個明顯的動態范圍。耳機放大器在噪聲層和輸出功率之間進行平衡，以最好地適應這一范圍。例如，TLV320AIC3254音頻編解碼器能夠向典型32-Ω或者16-Ω耳機負載提供非常高的純 500 mVRMS 聲壓級 （SPL），同時具有滿量程以下100dB的噪聲底限（加權值），其在人的聽覺閾值以下（請參見圖 10）。有時，甚至沒有必要在實施調節以后增加額外的放大率，因為輸出功率遠高于舒適聽覺水平。
圖10：相對人類聽覺的耳機音量
作者：Jorge Arbona TI應用工程師
Supriyo Palit TI軟件系統工程師