摘 要： 分析了變步長LMS算法自適應濾波器基本原理，使用MATLAB對其進行仿真，并應用SZ-EPP5402評估板進行了DSP實現，結果表明，變步長LMS算法能夠克服固定步長LMS算法的矛盾，具有較快收斂速度與較小穩態誤差。
??? 關鍵詞： LMS算法；自適應濾波器；DSP
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?? 在數字信號處理中，濾波技術占有極其重要的地位。自適應濾波器是利用前一時刻已獲得的濾波器參數，自動地調節、更新現時刻的濾波器參數，以適應信號和噪聲未知的統計特性，從而實現最優濾波[1]。當在未知統計特性的環境下處理觀測信號時，利用自適應濾波器可以獲得令人滿意的效果，其性能遠超過通用方法所設計的固定參數濾波器。在通信、雷達、聲納、控制工程及生物醫學等領域應用廣泛。
選擇DSP完成自適應濾波器的設計，具有穩定性好、精確度高、不受環境影響、靈活性好等優點。固定步長LMS算法濾波器在收斂速度與穩態誤差之間存在矛盾，加快收斂速度的同時也會增大穩態誤差。本文使用變步長LMS算法對其進行改進，在TMS320C5402DSP芯片上實現了基于固定步長與變步長LMS算法的自適應濾波器，結果表明，變步長LMS算法自適應濾波器性能得到明顯改善，在加大其收斂速度的同時也很好地減小了穩態誤差。
1? 自適應濾波器基本結構和LMS算法???
1.1? 自適應濾波器基本結構
自適應濾波器由2個分離的部分組成[2]：(1)濾波器，為完成期望的處理功能而設計；(2)自適應算法，調節濾波器系數，以改進性能。自適應橫向型濾波器的結構如圖1所示。圖1中x(n)為輸入信號，通過權系數可調的數字濾波器產生輸出信號y(n)，將y(n)與期望信號d(n)進行比較，得到誤差信號e(n)。e(n)和x(n)通過自適應算法對濾波器參數進行調整，按照某種算法準則判斷誤差信號e(n)是否達到最小。重復以上過程，濾波器逐漸掌握了輸入信號與噪聲規律，以此為依據調節自身參數，達到最佳濾波效果。令W(n)為圖1中濾波器系數矢量，即W(n)=[W0(n)，W1(n)，…，WN(n)]，則自適應濾波器的輸出為：
1.2? LMS算法
最常用的判斷e(n)的準則為最小均方算法，即LMS算法。算法的目標是通過調整系數，使輸出誤差序列e(n)=d(n)-y(n)的均方值最小化，并且根據這個判據來修改權系數[3]。其中誤差序列的均方值又叫“均方誤差”MSE(Mean Square Error)，即：
目標函數ε是W的二次函數，形成一個碗狀拋物面(性能曲面)，此曲面有唯一最低點即為碗底最小點，自適應濾波系數的起始值位于曲面的某一點，經過自適應調節，濾波系數變化，向碗底最小點移動，最終到達最小點[4]。系數變化按照梯度負方向移動達到最小點的速度最快，令▽(n)表示n時刻的N×1維梯度矢量，N是濾波器系數個數，自適應濾波器系數矢量的變化與梯度的關系為：
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將式(7)代入式(6)得到：
初始收斂速度與穩態誤差是衡量自適應濾波算法優劣的2個重要技術指標[5]。減小步長μ可減小自適應算法的穩態誤差，但卻減慢了算法初始收斂速度；增大步長μ可加快算法收斂速度，但卻增大了穩態誤差。因此，固定步長LMS算法在加快算法初始收斂速度與減小穩態誤差之間存在矛盾。
2?變步長LMS算法
??? 為了克服固定步長LMS算法收斂速度與穩態誤差之間的矛盾，提出變步長LMS自適應算法。即在初始階段選用較大步長，使算法有較快初始收斂速度，隨著收斂加深之后采用較小步長來減小穩態誤差。本文中變步長μ公式為：
在變步長LMS算法中，由于
，在此范圍內，變步長LMS算法得以收斂，而由于μ(n)是變化的，在初始階段選用較大步長μ1，使得變步長LMS算法比固定步長LMS算法具有更快的收斂速度。當算法逐漸進入收斂穩定時，選用較小步長μ2，使穩態誤差隨步長減小而減小，因此，變步長LMS算法具有比固定步長LMS算法更小的穩態誤差。
3?自適應濾波器的MATLAB仿真
??? 實驗中，設計一個簡單二階加權自適應橫向濾波器，用單頻正弦信號與一個隨機噪聲進行疊加作為系統輸入信號x(n)，選取1 000個采樣點，根據自適應濾波器迭代方程設計自適應濾波器，對輸入信號x(n)進行濾波。固定步長LMS算法選用步長μ為0.002 6，變步長LMS算法在算法初始300個采樣點時選取μ1為0.004 2，在算法初始收斂逐漸加深后，后面700個采樣點選取μ2為0.002 1。仿真結果如圖2所示。
??? 從圖2(b)中可以看出，固定步長LMS算法濾波結果在開始階段收斂速度比較慢，有較大穩態誤差，算法有待改善。圖2(c)中變步長LMS算法濾波結果比固定步長LMS算法具有更快初始收斂速度與較小穩態誤差，濾波效果得到明顯改善，濾波性能優于固定步長LMS算法。從仿真角度證明了變步長LMS算法的優越性與可行性。
4?自適應濾波器的DSP實現
為了提高LMS算法的處理速度且減小系統硬件規模，采用TI公司的TMS320C5402芯片作為核心芯片實現該算法。該處理器采用程序與數據分開的哈佛體系結構，片上有16 KB存儲器，外部擴展32 KB的數據存儲器，64 KB的程序存儲器；具有高度并行性。用C語言實現變步長LMS算法子程序流程如圖3所示。其中，N為迭代次數；order為階數；μ1、μ2為步長；count為當前采樣點；NS為采樣點數。
在圖3中，首先輸入濾波器迭代次數N，步長μ1、μ2，采樣點數NS的值，初始化濾波器系數矢量W(0)為零，定義2個指針i、j，分別指向濾波器系數階數order與當前采樣點數count，當階數小于迭代次數N，且采樣點數小于總采樣點數的1/3時，進行迭代運算1，此時步長為μ1；大于1/3時，進行迭代運算2，步長為μ2。
??? 設計中，采用1 500 Hz的期望信號與312 Hz的噪聲信號疊加作為30個系數的自適應濾波器的一個輸入信號，對于每一個時刻n，計算自適應濾波器的輸出，誤差信號是輸出信號與期望信號的差值。固定步長LMS算法與變步長LMS算法在SZ-EPP5402評估板上實現的結果如圖4所示。
?? 從圖4(b)中可以看出，在濾波初始階段，濾波結果不明顯，輸入的疊加信號經過自適應濾波器后，在初始階段噪聲沒有得到明顯抑制，存在較大穩態誤差，收斂速度比較慢，收斂速度和穩態誤差都有待改善。從圖4(c)中可以看出，在濾波初始階段，穩態誤差已得到明顯改善，有較小穩態誤差，初始收斂速度也有所加快，輸入的疊加信號經過自適應濾波器后，噪聲得到明顯抑制，濾波性能明顯優于固定步長LMS算法，具有較快收斂速度與較小穩態誤差，很好地克服了固定步長存在的矛盾。
初始收斂速度與穩態誤差是衡量自適應濾波算法性能優劣的2個重要技術指標。本文通過對固定步長和變步長LMS算法自適應濾波器進行MATLAB仿真與DSP實現，比較二者結果，證明了變步長LMS算法能夠保證較快的收斂速度與較小的穩態誤差，并能有效去除不相關的獨立噪聲干擾，克服固定步長在增大初始收斂速度與減小穩態誤差之間存在的矛盾，優化了自適應濾波器的性能，濾波效果明顯。
參考文獻
[1] SHIREEN W， TAO L I.A DSP-based active power filter for low voltage distribution systems[J].Electric Power
Systems Research，2008，78：1561-1567.
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[3] KUKRER O，HOCANIN A.Frequency-response-shaped LMS adaptive filter[J].Digital Signal Processing，2006，
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[4] 葉永生，余容桂，吳霄.一種新的自適應最小均方算法及其應用研究[J].電測與儀表，2008，45(7)：19-22.
[5] 張會生，閆學斌，秦勇，等.LMS算法自適應濾波器的DSP實現[J].通信技術，2006(10)：72-73.