摘 要： 混沌序列的產生是混沌理論應用于保密通信領域的一個重要問題。通過對Logistic映射進行變換處理，利用整數運算代替小數運算，使程序便于在MCS-51系列單片機平臺上運行，由此產生Logistic-Map混沌序列。
關鍵詞： 混沌序列；Logistic-Map；單片機
混沌及其應用是近年來非線性科學研究領域的一個熱點課題。自Pecora和Carroll提出了混沌同步概念，使混沌應用于保密通信技術領域成為可能。但要進行有效的混沌通信，首先必須產生穩定的混沌序列信號。
混沌序列信號發生器最初是利用分立模擬電子元件來實現的，這種方法能有效地產生混沌信號，但降低了集成度，增大了體積，且在通信應用時，因為元件參數較大的離散性，容易造成收發系統之間的電路參數失配。相比而言，用數字元件實現，能簡化系統并提高抗干擾能力，例如，在DSP和FPGA等數字平臺上產生混沌序列，是一種較為有效的方法。
對于產生形式簡單并且應用廣泛的Logistic-Map混沌序列[1]信號，可在速度較慢、資源有限的51系列單片機硬件平臺[2]上實現。由于Logistic映射中產生的迭代數據全是小數，而單片機處理浮點數的能力較差，故需對Logistic-Map方程進行映射變換，以便于在單片機上運行實現。
1 Logistic方程的變換處理
Logistic方程是目前應用較為廣泛的一種混沌映射，其迭代方程的數學表達式為
由于單片機并不適合于處理小數，故為了方便于單片機的運行處理，系數盡可能地選擇整數，這里選取參數μ=4，其時域仿真波形如圖3所示。
Logistic方程中，x(n)的值均為0～1之間的小數，而x(n)值的精確度對系統是否處于混沌狀態有一定的影響，精度過低會將混沌系統強制性帶出混沌。理論上，x(n)值的精確度越大越好，但實際上不可能選取無窮精度。在Matlab仿真時，軟件采用雙精度浮點的形式進行數值運算。
考慮到單片機處理浮點數的能力較差，通過線性映射：
將x(n)∈(0，1)的值映射到X(n)∈(0，65 536)的區間上，而這屬于一個無符號整型變量的表數范圍。通過該映射，就能在保證變換前的數值精確到小數點后4位的情況下，用無符號整型變量代替雙精度浮點型變量的運算，并且能在一定程度上反映小數點后第5位的情況。
經過映射變換后的Logistic映射方程變為：
式中X(n)∈(0，65 536)。數值仿真結果如圖4所示。由此可知，變換只改變了x(n)值的幅度，并沒有改變系統的性質。
2 硬件設計
在硬件設計中，選用了51系列中的增強型單片機AT89S52。這款單片機內置了8 KB的Flash，8個256 bit的片內RAM，對于存儲程序和臨時數據值有足夠的空間，因此可采用單片工作模式，不需擴展外圍存儲器。
圖5為Logistic混沌信號發生器的硬件電路圖。單片機的P1.6、P1.7分別輸出轉換控制信號和控制時鐘信號；P1.4、P1.5則將Logistic方程的迭代結果串行地送入數模轉換器。
要較好地將單片機計算結果還原成模擬信號并在示波器上顯示出來，對D/A轉換器的精度有一定的要求[5]。數模轉換器的精度過低，會使許多不同的計算結果被轉換為相同的模擬電壓值，導致波形質量的嚴重下降。這里選用了廉價高速的12位精度數模轉換器MAX538[2，6]。這款D/A轉換器是電壓輸出型，串行輸入方式，由單5 V電源供電。它采用菊花鏈結構，1次接收16位的數據，其中只有低12位有效，而高四位只在構成菊花鏈時使用。圖6為MAX538的時序圖，當轉換控制信號為高電平時，D/A轉換器不接收新值，而將數字信號轉換成模擬信號，輸出的模擬信號電壓值：
式中，VREF為基準電壓，取為2.5 V；當其為低點平時，每來1個控制時鐘脈沖就讀入1位值。
3 軟件流程設計
根據(3)式可知，程序中涉及到了減法、乘法和除法運算。在單片機指令系統中，這3種運算指令均為多周期指令，會占用較多的運行時間，尤其是除法運算。相對而言，賦值指令、移位指令與邏輯運算指令則較為快速，因此，在保證準確性的前提下，可用移位運算代替乘、除運算[7]。
在設計程序時，利用循環迭代，使單片機不斷地計算出Logistic方程的當前值。程序流程圖如圖7所示。在整個循環體內，通過以下幾個步驟完成1次迭代運算：
(1)將公式(3)中的減法運算[65536－X(n)]用“異或”運算[X(n)⊕0xFFFF]代替，所得值送入變量y所指向的存儲空間；
(2)將y的值與x相乘，實現[X(n)[65536－X(n)]]，而這個乘法運算的結果是一個32位的值，因此賦予長整型變量M32；
(3)乘法運算結果要除以65 536，該值是2的16次方(65 536=216)，故可通過將M32的值右移16位來替換除法運算；
(4)在單片機指令系統中，除法運算的結果是個16位的值，但移位運算并不會改變變量的數據類型，故仍為32位的數據。所以，要令M32和0xFFFF相“與”，取出M32的低16位值存入與整型變量相對應的存儲空間；
(5)用y的值左移2位替代乘以系數μ=4的運算，計算出Logistic方程的當前值；
(6)將計算結果送入數模轉換器。
數模轉換芯片MAX538是串行輸入的，上述步驟計算的結果是一個整型數值，不能1次送入D/A芯片，要將數值按權位的高低逐個取出并傳送。并且MAX538是12位的D/A芯片，只有低12數據有效。計算結果的16位數據中，對信號幅度影響較大的是高12位數據，故要將x(n)的值右移4位，將高4位無效位清零，而把有效值保存在低12位。根據MAX538的信號時序，可得如圖8所示的流程圖。
混沌系統方程中，均為小數形式的運算，增加了產生混沌信號時的硬件復雜程度。因此，通過對Logistic方程進行線性變換，采用整數運算替代浮點數運算，可以在保證一定數值精度的情況下，提高程序的運行速度，為利用51系列單片機產生混沌序列信號提供了一種實際可行的實現方法。
參考文獻
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[6] 王福瑞．單片微機測控系統設計大全[M]．北京：北京航空航天大學出版社，1998.
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