摘 要： 提出了一種針對基于標量乘的公鑰密碼體制的攻擊方法。由于小整數n階點在點加和倍點運算時能夠產生顯著數值變化，即產生顯著功耗變化，因此基于小整數n階點的選擇明文與簡單功耗分析可以有效攻擊橢圓曲線密碼(ECC)這種基于標量乘的公鑰密碼算法。
關鍵詞： 橢圓曲線密碼；簡單功耗分析；標量乘
與對稱密鑰密碼體系相比，公鑰密碼體系允許更靈活的密鑰管理。目前，應用最廣泛的兩種公鑰密碼算法是RSA以及橢圓曲線密碼(ECC)算法[1-2]。與RSA相比，ECC具有更短的密鑰長度、更快的運算(諸如內存、能量消耗以及帶寬存儲)，從而在學術與工程領域引起持續增長的興趣。
側信道分析(如時序、功耗、電磁輻射)攻擊已經對公鑰密碼體制的硬件實現產生了威脅。簡單功耗分析SPA(Simple Power Analysis)攻擊已被證明可有效攻擊一些公鑰密碼算法[3]。該技術主要涉及對運行公鑰加密算法的設備功耗進行檢查分析。RSA實現中的模方和模乘運算是可以被區分開的，使得對方可以獲得密鑰。ECC中點加和倍點操作類似于RSA中的模方和模乘操作。如果可以區分ECC實現中的點加和倍點操作，那么攻擊者就可以獲取ECC密鑰。
目前大多數的RSA算法都使用相同的序列進行模乘和模方操作，大多數ECC算法也使用相同的序列進行點加和倍點運算，這增大了對差異的區分難度。RSA中“一貫的模乘和模方操作”以及ECC中“一貫的點加和倍點操作”似乎成為了對抗SPA攻擊的有效手段。為了從功耗波形中獲得更強的信息泄露，針對特殊輸入數據的RSA的選擇明文攻擊方法得以提出[4-7]，以及采取更為復雜的原子化平衡操作[9]和蒙哥馬利方法[10]等，但都使得在SPA攻擊時得不到點加和倍點運算的顯著功耗變化。
為了在功耗波形中獲得增強的信息泄露，本文提出了一種針對ECC算法的選擇明文側信道攻擊方法，該方法利用了2階或者其他小整數階點作為特殊輸入點P，以增強點和倍點操作中的顯著變化。
1 ECC概述
1.1 橢圓曲線
ECC算法把現有的離散對數問題轉化為橢圓曲線上的連續問題。一個生成元為g的n階循環群G的離散對數問題指的是找出群G上使y=gx成立的x。橢圓曲線上的離散對數比其他有限域上的群(諸如乘法群)要困難得多。令E(EP)為一個定義在有限域FP上的橢圓曲線，令P為一個E(EP)上的點。素數p、橢圓曲線方程FP、點P以及其階數n是公共的域參數。私鑰是一個從區間[1，n-1]上均勻隨機選取的整數d，其相應的公鑰是Q=dP。私鑰d的確定問題就是橢圓曲線上的離散對數問題(ECDLP)。
尋找其他階數點的方法可以進一步閱讀參考文獻[10-12]。
本文提出了一種新的選擇明文的簡單功耗分析攻擊法。在該方法中，選擇階數為2或者其他小整數階點作為特殊點P，是為了利用其在無限域上的特殊性。該方法放大了點倍與點加操作的功耗差。通過該方法，可以對ECC實現中的從左至右或從右至左二進制算法進行有效攻擊。
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