近幾年來，隨著MA Y^[1-2]等人提出了基于稀疏表示分類的人臉識別，掀起SRC在人臉識別領域應用的熱潮。郝靜靜^[3]等人提出一種改進的人臉識別方法，效果得到明顯提高。SALAH R^[4]等人結合紋理特征提取和稀疏表示實現人臉表情的識別。Zhang Shiqing^[5]等人把Gabor小波和局部二值化(LBP)分別用于表情特征提取，評估稀疏表示分類(SRC)的性能，并與支持向量機(SVM)、NSC、NNC等進行了比較。MAHOOR H^[6]等人對人臉運動單元進行稀疏表示實現表情識別，并與SVM、NSC方法進行了比較。但表情特征相對于人臉特征復雜，表情樣本少，加大了表情識別難度；直接運用SRC實現表情識別效果不是很好。鄒修國^[7]等人把人臉識別系統應用到DSP，為識別系統廣泛應用奠定了基礎。

        針對上述識別方法的優缺點，本文提出雙模板稀疏表示算法對人臉表情進行識別。通過增加正、負模板重構新的觀測矩陣，優化了稀疏表示的性能，減少噪聲、遮擋等對表情識別的影響，提高了表情的識別率。

1 基于稀疏表示的表情識別

1.1 稀疏表示理論

　   稀疏表示SR(sparse representation)可稱為壓縮感知，在很多領域扮演了越來越重要的角色。在式(1)中，稀疏表示理論的核心是在過完備矩陣D∈R^m×n下，重構出的逼近原信號x，可理解為求解方程的過程:

        在實際應用中，當m<<n時，式(1)有無窮多解，即該方程是欠定方程。通過下式得到的最稀疏解x₀即最小l0范數解:

        但式(2)的求解過程是一個NP-hard問題，計算效率極低。參考文獻[8]指出，在滿足約束等距性RIP的條件下，最小l₁范數解逼近最小l₀范數解。所以，可以在解集合尋找最小范數解(min‖x‖₁)來代替求min‖x‖₀，這是一個凸優化問題，用式(3)表示：

        對于上述最優化問題，有許多l₁算法^[9]能夠有效地求解，包括正交匹配追蹤算法、LASSO、SPGL1算法等。

1.2 基于稀疏表示的表情識別算法

　　從表情庫中隨機取大部分人臉圖像作為訓練樣本，用于構建測試樣本對應的冗余字典。設第i類訓練樣本用矩陣表示為,每個圖像用v來表示。將k類共n個訓練樣本組合在一起形成整個訓練集矩陣D：

其中，m表示樣本的像素點，n_i表示第i類樣本數目。通過求解出測試人臉在由訓練樣本構成的字典里的表示，可以知道測試人臉的表情類別信息。給出一個屬于第i類的測試樣本y，可以表示為：

        測試樣本僅用來表示自同一類訓練樣本的線性組合，其他類別的系數為零，即求解出的解x1=[0,0,&hellip;,0,],只有第i類的值是非0元素。系數向量a中包含大量有利于分類的信息。判斷測試樣本所屬類別的公式為：

其中&delta;_i(x₁)&isin;Rⁿ，是第i組系數中非零的數為系數x₁中與i對應的那些數。r_i(y)=‖y-A&delta;_i(x₁)‖₂表示的是y與A&delta;_i(x₁)的殘差值,認為殘差值最小的對應類別i為y的類別。

2 雙模板稀疏分類算法

        實際應用中，訓練樣本個數和單樣本的像素點影響原信號重構的效果。直接用訓練樣本來構造冗余字典D，重構效率很低。由于圖像中含有噪聲干擾，為了解決噪聲的影響，式(1)改寫為：

其中，&epsilon;表示誤差向量，它與稀疏解x一樣含有大量的稀疏零點。因此，為了方便計算，把解x和&epsilon;合并起來，添加一個模板I去構造新的矩陣B，故y可以表示為：

其中,B=[D,I]&isin;R^{m&times;(n+m)}。由于m<(m+n)，所以方程(8)一直是欠定方程，&omega;的解并不唯一。把矩陣I用單位矩陣表示，I的向量i_i&isin;R^m中只含一個非零數，用來表示圖像中零散的噪聲點。單模板I通過向量e幫助x分擔原圖像的零散噪聲，使更多有用信息集中于向量x上。

        原則上,觀測矩陣D在沒有限制的條件下，系數x可以為任何實數。然而，在識別的應用中，被識別的目標應該被訓練樣本用非負系數所表示。在訓練樣本庫中，尋找到類似測試樣本類別的個體時，主要集中于該類似樣本的非負系數上。然而，直接對上述的輔助稀疏x、e進行非負約束不太合理。因此，本文在正模板的基礎上提出了雙模板的擴展矩陣。如圖1所示，由訓練樣本矩陣、正模板和負模板共同構造雙模板的觀測矩陣。把測試樣本中可能存在的負值轉移到負模板，消除負系數對稀疏解x用于分類時的影響。此時，式(1)可寫為：

                                                                             圖1 雙模板觀測矩陣

其中，e⁺&isin;R^m，e^-&isin;R^m分別為正輔助系數和負輔助系數向量，新觀測矩陣R^n+2m是非負系數向量。此時，負模板-I中的每一列向量-i_i只含有一個零值，與正模板的i_i剛好相反,可以減少稀疏表示中對n的要求，解決樣本數不夠的問題。式(8)的矩陣B中m<2m+n,因此是欠定方程，且&omega;沒有唯一的解。通過變換域把式(8)求解問題轉化為l_1-正則化最小平方問題，稀疏表達式表示為：

其中‖&middot;‖₁和‖&middot;‖₂分別表示l₁和l₂范數。本文使用l₁范數解法l₁_l_s求稀疏解x。然后把稀疏解x代入式(6)，求出殘差值，即可得到測試樣本y對應的類別。

　　對于一個有效的測試人臉，所求的非零系數集中于單個訓練目標。為了衡量觀測矩陣的性能，參考文獻[4]定義稀疏集中指數(SCI)來測量稀疏系數集中程度：

        如果 則測試樣本只用一個目標樣本來表示；如果，則測試樣本的稀疏表示均勻地分布在所有樣本中。的值越大，說明求解的x稀疏性越好。本文將通過衡量SCI指數比較DT-SRC和SRC的性能。

3 實驗及結果分析

3.1 JAFFE人臉數據庫上的實驗

        對人臉庫的圖像進行幾何歸一化、灰度歸一化、濾波等預處理。JAFFE人臉圖像經過預處理后大小為64&times;64，如圖2所示，從左到右依次為憤怒、厭惡、恐懼、開心、自然、傷心、驚奇7種表情。

                                                             圖2 KA的7種表情預處理后的圖像

        把JAFFE人臉庫的210張圖片按7種表情進行分類，每人每種表情隨機抽取一個作為測試樣本，其他為訓練樣本。對人臉圖像進行下采樣降維，針對SRC和DT-SRC算法選擇最優的下采樣率,采樣點為15&times;7，比較NSC、SRC和DT-SRC的識別性能。

        表1中平均SCI指數為統計70個測試人臉的每個SCI指數后求平均值，它能反映出稀疏表示分類的識別性能。從表1可以看出，DT-SRC相對SRC和NSC在識別率上有很大的提升，但犧牲了一定的時間;SRC和NSC的識別率差不多。

　    圖3中，SCI指數的范圍為[0,1]，指數越接近1，所求得的解越稀疏，稀疏性越好。從圖3可以看出，在第12、50個測試樣本時SCI都很低，可以認為這些樣本類別不能很好地被識別，所含的表情分類信息不明顯；DT-SRC的SCI指數普遍比SRC的高，則DT-SRC的重構效果比SRC有了很大的提高。

                                              圖3 JAFFE的測試人臉在SRC、DT-SRC的SCI指數

        本文取圖3的第70個測試人臉圖，列出該圖在DT-SRC和SRC下的殘差值，如圖4所示。圖4(a)為第70個人臉的裁剪圖,圖4(b)和圖4(c)中的橫坐標1~7分別表示憤怒、厭惡、恐懼、開心、自然、傷心、驚奇的7種表情。圖4(b)、圖4(c)的第7個方柱(驚奇)的殘差值最低，可以判斷出圖4(a)的類別是驚奇，該人臉的表情是驚奇。從圖4可以看出，DT-SRC的第7類表情殘差值相對其他類表情要明顯，所求解的系數x在表情類別中主要集中于驚奇處。圖4(b)中最低兩個殘差值的比例大約為1 400/100=14:1；圖4(c)中最低兩個殘差值的比例大約為500/200=5:2；在該測試人臉的識別中，DT-SRC算法比SRC有更好的稀疏性和分類效果。

                                                                       圖4 某個測試人臉的殘差值圖

3.2 在CK人臉數據庫上的實驗

        3.1節實驗同樣適用于Cohn-Kanade(CK)表情庫。選取裁剪成64&times;64的CK人臉庫作為實驗數據庫，把其中一人的7種表情顯示如圖5所示,從左到右依次為厭惡、恐懼、開心、自然、傷心、驚奇、憤怒7種表情。

                                                               圖5 CK的7種表情預處理后的圖像

        CK庫有18個人，每個人每種表情有5張，有7種表情，共有630張圖像。每人每種表情隨機抽取一個作為測試樣本，其他為訓練樣本，則總有126張測試樣本、504張訓練樣本。然后比較NSC、SRC、ISRC 3種算法的識別率，實驗結果如表2所示。計算每張CK測試人臉在SRC、DT-SRC識別后的SCI指數，126張測試人臉的SCI指數如圖6所示。

                                                  圖6 CK的測試人臉在SRC、DT-SRC的SCI指數

        分析表1和表2可知，SRC和NSC在識別時間上比其他方法有絕對的優勢，而且識別率也較好。在CK庫中的識別率明顯比JAFFE庫好，這是因為所使用的CK庫的圖片質量好，各表情差異明顯。DT-SRC比SRC和NSC在識別率方面有所提高，特別是在圖片表情特征不明顯的情況下，識別率能有很大的提高。其實，在CK庫中所使用訓練樣本比較多，SRC算法能達到很高的識別率。但在JAFFE庫里，由于表情庫的樣本不多，導致字典D的列數不夠，不能充分發揮出稀疏表示的作用，從而導致它的識別率低。而本文的算法DT-SRC彌補了字典矩陣D列數不足的缺點，且降低了噪聲和負系數的影響，使識別率得到提高，但犧牲了一定的運算時間。

        從圖3和圖6的SCI指數圖看出，DT-SRC的SCI總體上比SRC的高，DT-SRC的稀疏表示性比SRC的好。當測試樣本不是有效的人臉時，DT-SRC能更好地排除該張圖片，減少錯誤的判斷。

        本文提出的DT-SRC實用性強、效率高，降低了識別的復雜度，解決了SRC用于表情識別時效率不高的問題。通過SRC與DT-SRC的比較，發現字典矩陣D的構造影響著正確識別率和稀疏分類性能，D中的元素能最大程度地表示測試樣本的結構，且所添加的正、負模板可消除噪聲、負系數等影響。因此，DT-SRC在表情識別方面效果不錯。

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