文獻標識碼： A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.2015.11.024
中文引用格式： 那美麗，周志剛，李霈霈. 基于稀疏傅里葉變換的低采樣率寬帶頻譜感知[J].電子技術應用，2015，41(11)：85-88.
英文引用格式： Na Meili，Zhou Zhigang，Li Peipei. Wideband spectrum sensing at low sampling rate based on the sparse Fourier transform[J].Application of Electronic Technique，2015，41(11)：85-88.
0 引言
隨著通信業務的高速發展，無線電頻譜的低端頻率已趨于飽和，頻譜資源匾乏的問題日益嚴重[1]。為了解決頻譜利用率的問題，Joseph Mitola于1999年在軟件無線電的基礎上提出了認知無線電的概念[2]。要實現動態頻譜接入，首先要解決的問題就是如何檢測頻譜空穴，也就是頻譜感知技術。傳統頻譜感知的解決方案主要有數字和模擬兩類，常見的模擬方式類似實驗室的掃描機制，需要可調的線路和獨立的認知無線電接收設備。數字的形式要求采樣率滿足奈奎斯特采樣定理，當工作在寬帶環境下，采樣率可能會相當大。所以寬帶信號頻譜感知的難點主要在于現有硬件設備的模數轉換和信號處理能力尚無法滿足對寬帶信號需求的高速增長。因此寬帶信號頻譜感知的研究將主要集中在如何利用寬帶信號的稀疏特性通過較低的采樣率獲得寬帶信號的部分信息進行頻譜感知[3]。認知無線電的廣泛應用要建立在創新的頻譜感知技術上。
本文提出一種基于稀疏傅里葉變換（Sparse Fourier Transform，SFT）的頻譜感知方法，尤其適用于寬帶認知無線電。系統結構有兩個優點，一是模擬前端是固定的，不涉及掃描硬件；二是模數轉換器和數字信號處理采樣率都低于奈奎斯特率。稀疏快速傅里葉變換的算法最早于2012年由MIT的研究人員提出[4]。利用稀疏傅里葉變換的算法，數據流的處理速度會比快速傅里葉變換還要快10～100倍，用在頻譜感知這樣海量大數據處理方面更能凸顯其優勢。
1 傳統頻譜感知模型
最初對于寬帶信號檢測的研究都集中在窄帶頻譜檢測方面，每個節點在一個檢測周期內只能檢測一個窄帶信道，在完成此次檢測任務后才能進入下一個信道的檢測。這樣對于單個認知無線電用戶來說，不但需要有精確的檢測性能，而且需要很長的檢測時間才能完成寬帶范圍內的頻譜空閑檢測。2008年11月的IEEE Signal Processing Magazine綜述了現有的認知無線電技術[5]。根據文獻[6]將當前的頻譜感知方法總結在表1中。
單節點的窄帶頻譜檢測由于使用條件的不同，在不同的環境下檢測性能會有比較大的變化。為了適應無線移動通信寬帶化的發展趨勢，又提出了多節點協同寬頻帶檢測機制。每個節點由多條射頻電路組成，需要多個帶通濾波器，每條窄帶鏈路采用簡單的能量檢測算法。但是節點的硬件電路一旦固定，各個濾波器的范圍就隨之固定。因此這種方法只適用于各個子頻帶預先知道并且固定的情況，即需要知道足夠的先驗信息，對于子信道分配的先驗信息未知的情況則無能為力。
2 基于稀疏傅里葉變換的頻譜感知模型
傳統的方法需要的采樣率過高，無法真正滿足動態檢測寬帶頻譜的要求。本文的頻譜感知模型如圖1所示。利用SFT的思想采用低于傳統奈奎斯特采樣率的方式直接對寬帶信號進行低速采樣，并重建原寬帶信號頻譜。
介紹采樣算法之前，首先介紹一下傅里葉變換的基本特性：信號時域的二次抽樣引起頻域的混疊，圖2證明了這種特性。對圖2左上圖時域的二次抽樣產生了左下圖。在頻域，二次抽樣后信號的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）是原信號FFT的混疊，也就是說樣點6和1疊加，7和2疊加，以此類推。稀疏傅里葉變換的算法主要分為混疊濾波、估計和沖突檢測三步。下面重點解釋這三步。
2.1 混疊濾波
為了降低采樣率，以抽樣因子p對時域進行二次抽樣，通過時域的抽樣達到頻域混疊的效果。因為頻域是稀疏的，所以混疊后只有少數頻率分量上的值非零。x是長為N的離散時間信號，X是它的頻域表示。x′是x抽樣后的信號，其中x=xi×N/B，B可以整除N。那么X′就是抽樣后的x′的FFT：
因此，混疊是抽樣后進行FFT的一個結果，頻率等間隔B被分配到同一個頻率單元上，例如f將會分到桶i=f mod B。另外，每一個頻率單元的值是所有映射到其中的頻率值的總和。
2.2 頻率估計
如果混疊濾波后一個非零頻率和多個零值頻率映射到同一個頻率單元，則認為不發生沖突，此時無法確定非零頻率的具體位置f。為了計算f，利用FFT的相位旋轉屬性，即時域的移位會轉換為頻域的相位旋轉。在輸入信號移位個采樣點后重復整個混疊的過程。由于時域的延時轉換為頻域的相位旋轉。相位改變為：
因此，利用相位差即可求出非零頻率的位置f，這個過程稱為估計。對于所有不發生沖突的頻率單元，估計出原頻譜中非零頻率的位置和頻率值，也就是f和對應的Xf。
2.3 沖突解決和檢測
如果混疊的過程中兩個及以上的非零頻率映射到同一個頻率單元則稱為沖突。同樣利用FFT的相位旋轉屬性可以檢測是否有沖突發生。如果不發生沖突，則一個頻率單元中映射進來的頻率僅僅有一個非零頻率f，在兩次延時不同的混疊過程中的頻率單元的值通過比較延時前和延時后的幅值是否相同，可以判斷是否發生沖突。
檢測出沖突后，可以對互質采樣的混疊濾波進行解決。證明只要采用互質的采樣間隔隨機化混疊時的頻率位置，就可以防止同一個頻率對在兩次混疊中都發生沖突。然后在兩次混疊過程間迭代就可以找到所有的非零頻率。SFT的具體流程圖如圖3所示。
由于稀疏傅里葉變換要求應用在頻譜占用率不超過10%的情況，當頻譜占用率增加到大于10%后，不能再采用這種方法進行頻譜的稀疏恢復。但是因為一段時間內一個地區的頻譜占用情況不會經常發生變化，可以認為在當前觀察的時間窗和下一時間窗內頻譜的變化是稀疏的，利用這個頻譜變化的稀疏性進行稀疏傅里葉變換。由于此時能量發生變化，不能再利用相位循環來找到變化的頻率位置，考慮在兩次混疊濾波后相減找到變化的頻率混疊后的位置，然后采用投票的方式判斷出最終狀態發生變化的頻率位置。將每次可能映射到其中的頻率位置做個投票，如果某頻率位置在兩次混疊后都獲得了投票，則認為此頻率位置為恢復后的變化頻率位置。算法原理圖如圖4所示。
3 算法性能仿真
為了驗證稀疏傅里葉變換用于寬帶頻譜感知的性能，利用MATLAB平臺進行仿真分析。首先頻譜稀疏信號采用以下形式產生：
其中En、Bn、fn、n分別代表第n個頻帶的能量系數、帶寬、載波頻率和延遲時間。為了仿真實際采樣過程，用2倍奈奎斯特率的離散信號來表示連續信號，利用抽取的方法實現濾波后的采樣過程。采樣5 GHz的信號至少需要10 GHz的采樣率，而使用稀疏傅里葉變換需要的采樣率為420 MHz和500 MHz(抽樣因子為21和25，則可觀測帶寬為10.5 GHz)。圖5給出了該算法重構前后信號的時域和頻域形式。如圖所示，時域和頻域的重構結果均較好地再現了原信號的波形和頻譜，說明在信號頻譜相對稀疏的情況下，稀疏傅里葉變換可以較好地進行頻譜檢測。
當頻譜的占用增加到50%時，時間窗長度為10 s，假設狀態發生變化的頻率分量占總數的3%，利用改進算法成功恢復出狀態發生變化的頻率位置如圖6所示。由于只關心頻譜是否被占用，而不關心具體的頻率幅度，所以認為改進的算法可以成功地找到變化的頻率位置。
4 算法性能評估
誤判率：占有頻率被SFT判斷為空閑的百分比。對于不同稀疏性的情況下，仿真得到誤判率和稀疏性的關系如圖7所示?？梢钥闯鲈谙∈瓒刃∮?0%時，誤判率不超過0.5%，當稀疏度高達25%時，誤判率也不超過5%。
運算復雜度：FFT計算N點DFT時，其運算復雜度為O(N log2 N)。而SFT只需要4次混疊的過程，即其運算復雜度僅為O(2B1log2 B1)+O(2B2log2 B2)。假設B1>B2，則復雜度為O(B1log2 B1)。當N比較大時，SFT的效率提高更加明顯。
采樣率：直接對一個5 GHz信道進行寬帶信號頻譜檢測需要10 GHz的采樣率，而使用SFT可以使用500 MHz和420 MHz的采樣率，采樣率大約降低到原來的20%，硬件上易于實現，且效率更高。
5 結論
本文通過分析傳統頻譜感知方式的不足，提出了一種基于稀疏快速傅里葉變換的寬帶頻譜感知方法。該方法能夠以若干低速ADC完成對寬帶頻譜信號的采樣，解決了寬帶頻譜感知中采樣速率過高的問題，為亞奈奎斯特采樣的寬帶頻譜感知提供了一種新的思路。
參考文獻
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