0 引言

    擴頻通信技術是一種十分重要的抗干擾通信技術，具有抗干擾能力強、可進行多址通信、隱蔽性好、抗多徑衰落等多種優勢，在移動通信、衛星導航、信號偵查與探測等領域都得到了廣泛的應用^[1]。擴頻序列是影響擴頻通信系統性能的重要因素，近些年來，混沌序列由于其初值敏感性、類隨機特性、數量眾多等性質^[2]在擴頻通信系統中得到了廣泛的應用,目前研究比較深入的有改進型Logistic映射^[3]、Chebyshev映射^[4]、Tent映射^[5]等。上述映射雖然擁有良好的類隨機特性和相關性，迭代公式簡單，工程上易于實現，但是均為一維單級迭代映射，結構簡單，生成的混沌序列復雜度不夠高，通過相空間重構、反向迭代等方法被破譯的可能性較大^[6]。因此本文提出了一種通過迭代級聯混沌映射構造新型擴頻序列的方法，將迭代方程的輸入輸出值在不同的單級混沌映射間切換，在反復迭代的過程中改善了系統的動力學特性，擴展了系統的密鑰空間，增加了混沌序列的復雜度，更有利于提高擴頻通信系統的安全保密性。

1 迭代級聯混沌映射

1.1 迭代級聯混沌映射的提出

    改進型Logistic混沌映射定義為^[3]：

    當初始值x₀∈(-1，1)，分型參數μ=2時，系統處于混沌狀態，并且為滿映射。

    Chebyshev混沌映射定義為^[4]：

    初始值x₀∈(-1，1)，ω為映射的階數，當ω=2ⁿ時，系統處于混沌狀態。

    考慮到改進型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射具有相同的取值范圍和相同的概率密度分布函數，為了提高混沌系統的復雜度和安全性，可將上述兩種映射通過迭代級聯的方法構造出一種新型混沌映射，將一個混沌映射的輸出作為另一個混沌映射的初值并進行反復迭代^[7]。每次迭代在兩種單級混沌映射中隨機選擇一種，當映射總迭代次數為N時，整個混沌系統共有2^N種不同的混沌映射組合方式，大大提高了混沌系統的密鑰空間。由于每次迭代的初值在不同的混沌映射中切換，有效提高了相空間軌道的模糊性，進一步提高了混沌系統的復雜度、保密性、安全性。當每次迭代都選擇同一種混沌映射時，迭代級聯混沌映射將退化為普通的單級映射，此時改進型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射成為新型混沌映射的兩種特殊形式。

    鑒于迭代級聯混沌映射組合方法多達2^N種，難以逐一分析，本文針對其中一種映射交替迭代的特殊情況進行分析。新型混沌映射數學表達式如下：

    給定初值x₀后，迭代公式在兩種單級混沌映射中交替切換，每次迭代的結果由兩種單級混沌映射的相關參數和迭代次數共同決定，大大提高了混沌系統的復雜度和安全性，下面對該新型混沌映射的性質進行分析。

1.2 新型混沌映射遍歷性分析

    分岔圖可以清楚地反映出分形參數μ與混沌映射離散數值分布的關系^[6]。圖1中給出了改進型Logistic混沌映射和新型混沌映射的分岔圖。

    由圖1可以看出對于改進型Logistic混沌映射，只有在分形參數μ=2時，迭代結果才會映射在整個[-1，1]區間，這種狀態被稱作滿映射狀態。當分形參數取其他數值時，混沌序列迭代數值范圍縮小，數值分布集中，系統的遍歷性和隨機性降低。而本文提出的新型混沌映射擴展了滿映射狀態的分布區間，使分形參數μ的可選取范圍大大增加，這進一步擴展了混沌系統的密鑰空間，系統安全性、保密性能得到提升。

2 混沌序列性能分析

2.1 混沌序列的數字量化

    為了將混沌映射產生的實值序列應用到擴頻通信系統中，需要對實值序列進行數字量化處理，將實值序列轉化為二進制序列。二值量化法是一種最常見的數值量化方法，其核心思想是尋找一個判決門限T，將序列數值與門限T比較，方法如下式：

    二值量化法原理簡單，但是判決門限T的選擇將影響到混沌擴頻序列的平衡性，擴頻序列的平衡性反映了二進制序列中1與-1數量的均勻程度，其定義式為:

其中U與V分別表示序列中1與－1的數目，N表示序列長度。混沌序列的平衡性與載波抑制度有密切的關系，低平衡性的混沌序列會導致直擴系統的載漏增大，將破壞擴頻系統保密性、抗干擾和抗偵破的能力^[8]。選擇合適的判決門限，提高序列的平衡性對提升擴頻通信系統的性能有重要的意義。下面對迭代級聯混沌映射的判決門限進行分析。

    由圖1可以看出，雖然保證數值分布為滿映射的分形參數μ的取值范圍大大增加，但當分形參數μ=2時混沌映射數值分布更加均勻，有更良好的隨機性，因此在新型混沌映射模型式(5)中，設置相關參數μ=2，ω=4，迭代次數10 000次，對其數值在[-1，1]區間上的分布情況進行統計，統計結果如圖2所示。

    由圖2可以看出在給定參數下，新型混沌映射的數值分布規律與構成新型混沌映射的兩個子映射的概率密度分布函數類似，兩邊高、中間窄，近似關于x=0成軸對稱分布，因此可以選取T=0作為新型混沌映射的判決門限。

2.2 平衡性分析

    下面分析新型混沌序列二值化后的平衡性。隨機選取50個不同的初值，計算平衡性的平均值并繪出曲線，結果如圖3所示。可以看出隨著序列的長度增加，序列的平衡性越來越好，新型混沌序列的平衡性優于改進型Logistic混沌序列和Chebyshev混沌序列。

2.3 復雜度分析

    有限長序列的復雜度是指它與隨機序列的相似程度，可以在一定程度上反映出通信系統的保密性能和抗截獲性能。傳統偽隨機擴頻序列的復雜度通常采用Berlekamp-Massey算法進行衡量，但該算法是一種計算線性復雜度的算法，有較大的局限性，并不適合用來衡量混沌序列的復雜度^[9]。文獻[10]提出了一種通過近似熵（ApEn）算法來衡量混沌擴頻序列復雜度的方法，該算法通過描述序列維數增加時混沌軌道的分離程度來衡量混沌序列的復雜度，物理意義清晰，計算方法簡單易實現，其計算步驟如下：

    (1)混沌序列長度為N，以序列值域為樣本得到N點數據a(1)，a(2)，…，a(N)。

    (2)構造m維向量組：

    (5)定義近似熵(ApEn)為：

    ApEn數值越大，混沌序列的復雜度越高。上述參數中m通常取1或2，r通常取0.1~0.25倍樣本數據的標準差^[9]。

    下面對經過二值化的新型混沌序列、Logistic混沌序列、Chebyshev混沌序列三者的ApEn進行仿真計算，計算參數為N分別取1 000、2 000、4 000，r取0.12，m取2，計算結果如表1所示。由表1可以看出新型混沌序列的復雜度最高，改進型Logisitc混沌序列次之，Chebyshev混沌序列復雜度最低。這也證實了本文提出用迭代級聯混沌映射構造的新型混沌序列確實具有更高的復雜度，更有利于提高通信系統的保密性和抗截獲性。

2.4 相關性分析

    相關性是衡量擴頻序列性能的重要指標，與擴頻通信系統的抗干擾能力和抗多址能力密切相關。理想的擴頻序列應該具備類似白噪聲一樣尖銳的自相關函數，和處處為零的互相關函數^[11]。理論上無限長混沌序列可以滿足上述性質，但在實際應用中混沌序列不可能取到無限長，要經過截短處理后才能使用，這在一定程度上破壞了混沌序列的相關特性。圖4顯示一個初值為x=0.1，參數設定為μ=2，ω=4，序列長度為2 000的新型混沌序列自相關函數值和互相關函數值的分布情況，從圖中可以看出新型混沌序列的自相關函數值有尖銳的相關峰，自相關函數旁瓣值和互相關函數值均接近于零,表明新型混沌序列有良好的相關性能。

3 擴頻通信仿真

    為了進一步驗證本文提出的新型迭代級聯混沌擴頻序列的性能,通過MATLAB軟件對3種混沌序列進行擴頻通信仿真。仿真條件設定序列碼長1 024，信噪比取值范圍是[-15 dB，10 dB]，調制方式為BPSK，混沌序列參數選取μ=2、ω=4，每種混沌序列隨機選取1 000個初值設并計算誤碼率平均值,經過AWGN信道后誤碼率曲線如圖5所示。由圖5可以看出3種混沌序列在理想高斯白噪聲信道下誤碼率曲線相互交叉，基本重合，誤碼率性能相當。

    下面考慮AWGN信道中加入干擾信號的情況，仿真條件不變，在高斯信道中加入單音干擾信號，誤碼率曲線如圖6所示，圖中可以看出新型混沌序列的誤碼率明顯低于改進型Logistic混沌序列和Chebyshev混沌序列，說明新型混沌序列相對于其他兩種混沌序列具有更強的抗干擾能力。

4 結論

    本文在改進型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射的基礎上提出了一種新型迭代級聯混沌映射。其組合方式多樣，迭代方程由多個參數共同決定，有效提高了混沌系統的復雜度和安全性。通過對該映射進行遍歷性分析，發現其滿映射分布區間更廣，隨機性能更好。對新型混沌序列二值化判決門限的選取進行了分析，仿真對比驗證3種混沌序列的平衡性、復雜度和相關性，結果表明，本文提出的新型混沌序列復雜度高，具有良好的相關性和平衡性，抗干擾能力更強，更加適用于擴頻通信系統中。

參考文獻

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