傳統微弱信號檢測方法在檢測信噪比極低信號時效果很差[1]，而Duffing振子混沌系統由于具有對初值極端敏感、對噪聲具有較好免疫力等優點，在檢測微弱信號時表現出良好效果。作為一種新的微弱信號檢測方法，混沌振子方法不是消除噪聲，而是從噪聲背景中提取信號，針對其獨特性可將其應用到實際工程中，包括心電信號檢測[2]、GPS信號捕獲[3]、機電設備早期故障診斷[4]等方面。

　　本文在分析Duffing非線性動力學系統運動特性基礎上，針對Duffing振子微弱信號檢測方法存在的問題，提出基于偽哈密頓量的變尺度Duffing振子弱信號檢測方法。

1 理論分析

　　1.1 基于Duffing方程微弱信號檢測原理

　　選用連續動力學系統中Duffing振子作為研究對象，Duffing方程標準形式為[5]：

　　式(1)中，k為阻尼比，r為策動力振幅，w為策動力角頻率。

　　式(1)加入待測信號并寫成狀態方程形式為：

　　上式中為外部引入的湮沒在噪聲中的微弱正弦信號，h為待測正弦信號幅度，為待測信號與Duffing系統內置周期策動力信號頻率差， 為待測信號初始相位， n(t)為待測信號中混有的噪聲。

　　在Simulink仿真環境下由式(2)即可構造出傳統的混沌振子檢測微弱信號的檢測模型。

　　1.2 Duffing系統混沌判據

　　傳統上用Lyapunov特性指數(LCE)確定系統從混沌態躍變到周期態的相變閾值rd，用梅爾尼科夫(Melnikov)函數進行理論計算得到混沌閾值rc的粗略估計值[6]。Duffing方程的Melnikov函數形式如下：

　　1.3 高頻參數待測信號尺度變換

　　式(4)說明混沌閾值與周期策動力頻率有關，當k=0.5時，其關系如圖1所示?？梢姰斚到y阻尼比k固定時，在低頻段只需要很小幅度的驅動力就會使系統產生混沌，而在高頻段時則需要較大的驅動力。另一方面，Duffing系統只有在低頻參數條件下有較好的動態特性和檢測效果，且Duffing振子檢測信號時，不同頻率待測信號對應的相變閾值也不同，如果每次檢測過程都要搜索相變閾值，將大大增加檢測復雜度。

　　在處理工程信號時，文章對待測信號進行二次采樣，即引入變尺度系數R，對待測信號進行頻率/時間尺度變換。若待測信號角頻率為w，其采樣頻率為fs，則數值計算的步長為dt=1/fs。對檢測系統引入變尺度系數R相當于將信號的時間間隔增大了R倍，相應的信號角頻率被壓縮R倍后變為w/R，此時數值計算步長變為dt′=Rdt=R/fs。

2 自相關與小波變換聯合去噪

　　設已知頻率待測信號為：x(t)=s(t)+n(t),s(t)是周期信號，n(t)是均值為零的高斯白噪聲，信號自相關輸出為：

　　式(7)中，n′(t)是相關信號中混有的噪聲。

　　實際中由于積分時間不可能無限長，噪聲只能得到一定程度的抑制[7]，剩余噪聲可通過對相關后信號進行小波閾值變換進一步削弱。

　　小波閾值消噪過程中，信號經過小波變換后，可以認為由信號產生的小波系數包含有信號的重要信息，其幅值大，但數目較少，而噪聲對應的小波系數幅值小。因此，通過在不同尺度上選取一合適閾值，并將小于該閾值的小波系數置零，而保留大于該閾值的小波系數，從而使信號中的噪聲得到有效抑制。最后進行逆小波變換，得到去噪后的重構信號。

3 Duffing系統偽哈密頓量

　　考慮平面微分動力系統：

　　則稱式(8)為平面哈密頓系統，其中H(x1,x2)稱為該系統的哈密頓量。

　　對于式(1)Duffing方程，不考慮阻尼項和策動力的影響，可以改寫為：

　　實際應用中阻尼項和策動力對于系統的哈密頓量有一定影響，但對系統能量分布幾乎沒有影響，此時的哈密頓量為偽哈密頓量(PH)[8]。圖2為Duffing系統PH值分布情況，兩個鞍點處PH值最低，系統混沌特性越明顯PH值越低，大尺度周期狀態時PH值最高。

　　用下式構造Duffing系統平均哈密頓量(APH)。

　　式(17)中，N為動力系統的時間序列長度，i為系統的第i個狀態。圖3是策動力為rcos(t)時，策動力幅值變化時Duffing系統APH值變化情況?；趫D3中APH值階躍型跳變特性來設定閾值，進而判斷是否存在微弱信號。

4 仿真測試和分析

　　基于前面分析，提出如圖4所示基本原理檢測低信噪比微弱信號。

　　仿真環境下為試驗待測信號，n(t)為均值為零的高斯白噪聲。檢測系統相關參數為：系統初始狀態(x,0)=(0,0)， k=0.5, fs=10 000 Hz，h=0.000 3 V,w=200 rad/s，w=0,采用四階Runge-Kutta方法對Duffing方程進行數值求解，數值計算步長為:

　　dt=1/fs=0.000 1         (13)

　　引入變尺度系數R=200,變換后信號角頻率w′=1 rad/s，則二次采樣頻率fs′=fs/R=500 Hz，數值計算步長dt′=Rdt=0.02。

　　圖5~圖7分別為-20 dB待測信號及此信號先后經過自相關器和小波閾值變換后的輸出，從圖就能直觀看出兩次去噪過程均提高了待測信號信噪比。

　　本文算法采用信噪比改善因子SNIR衡量去噪效果，其計算式如下：

　　SNIR=SNRout-SNRin  (14)

　　式中：SNRin為輸入信噪比，SNRout為輸出信噪比。

　　圖8為不同輸入信噪比條件下的SNIR值，由圖可知，通過相關運算可以抑制部分噪聲，對相關后信號進行小波閾值變換，信噪比又有一定程度改善，且在一定范圍內，輸入信號信噪比越低，這種改善越明顯，證明了本文方法的有效性。

　　若系統APH值用T表示，仿真得到閾值rd=0.827 856 7，數次驗證后選APH值判決系統狀態的門限值為=0.35，則有：

　　實驗中取t=100 時Lmax值作為最終系統狀態穩定的Lmax值，實驗得到表1~表3結果。

　　從表1~表3數據看出，基于偽哈密頓量和Lyapunov指數的系統狀態判別方法結果是一致的。另外，混沌檢測系統能夠檢測的信噪比門限為-10.5 dB, 相關-混沌檢測系統能夠檢測的信噪比門限為-35.5 dB，相關與小波變換聯合-混沌檢測系統能夠檢測的信噪比門限為-39 dB，由此可見本文檢測算法的有效性和優越性。

　　實驗得到，利用系統APH值判別狀態的平均計算時間為0.62 s，利用系統狀態穩定時Lmax值判別狀態的平均計算時間為6.7 s?？梢?，APH值算法計算效率明顯高于Lyapunov特性指數算法。

　　本文提出基于偽哈密頓量的變尺度Duffing振子弱信號檢測方法，通過頻率/時間尺度變換把高頻信號轉換為固定角頻率1 rad/s的信號，方便了設置系統相變閾值，克服了傳統方法低頻參數信號的限制；搭建相關與小波閾值變換的聯合去噪系統,極大程度地改善了信噪比，避免了噪聲對檢測結果的不利影響；構造Duffing系統偽哈密頓量實時地表征系統動力學行為，解決了定量判斷系統狀態時計算量大，效率低的難題。仿真分析驗證了本文所提檢測方法的有效性和優越性。

　　參考文獻

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