0 引言

    在三維集成SiP（System in Package）中，硅基轉接板具有互連密度高、散熱性好及與芯片的熱機械兼容性好等方面的優勢，已經成為重要的多芯片集成和芯片間互連架構技術之一。SiP中元器件及其相互間互連集成度的日益增長容易導致互連結構之間出現不可忽視的電磁寄生耦合與干擾，而高密度互連網絡復雜的結構特征使得解析方法很難精確地揭示這些寄生效應和預測其對電磁信號在互連上傳輸特性的影響，因此計算電磁學方法將成為首選分析方法。

    與矩量法(Method of Moments，MOM)、有限元法(Finite Element Method，FEM)、傳輸線法(Transmission-Line Modeling，TLM)等計算電磁學方法相比，YEE K S^[1]于1966年首次提出的FDTD法可以實現時域電磁波傳播的直接仿真，在計算資源的占用、媒質參數的空間分布、目標形狀復雜性的適應性和算法實現的難易度方面具有優勢，更適合于轉接板中2.5維、3D化互連電磁場的分布、傳播特性的分析。

    考慮到轉接板互連在板平面方向上可以視為二維開放性空間問題，故需要引入吸收邊界條件（Absorbing boundary condition，ABC）的概念，使得在有限大的二維網格空間中就能完成相應的電磁場傳播行為仿真^[2]。常用的吸收邊界有：MUR G^[3]通過對波動方程進行因式分解，近似得到的二階Mur邊界；MEI K^[4]等提出的超吸收邊界；BERENGER J P^[5]通過在邊界處加入吸收材料提出的PML技術。吸收邊界條件的設定對計算結果的正確性和精確性有很大影響。

    本文以三維集成轉接板互連結構間的電磁干擾特性分析為背景應用，以轉接板水平互連層間的二維TE波平面傳播這一電磁干擾常見的傳播模式為主要研究對象，分析了Mur、PML邊界條件的基本解析公式并導出相應的離散算法，編制了用FDTD算法仿真二維TE波傳播的C++軟件代碼，比較了在二階Mur吸收邊界與PML吸收邊界下TE波的傳播特性以及這兩種邊界設定的有效性。

1 三維集成轉接板中TE波的傳播

    三維集成轉接板上的互連結構如圖1所示，以下介紹用FDTD算法推導TE波離散數值解的簡要步驟。

    二維情況下，假設所有物理量的表達式均與z無關，即=0。以二維TE波為例，在直角坐標中麥克斯韋的旋度方程可以表示為：  

式中CA(m)、CB(m)、CP(m)、CQ(m)是介質參數隨坐標變化的系數。Δx與Δy為x、y坐標方向的網格剖分步長，Δt為時間步長。TE波中電場與磁場網格在空間上的分布如圖2所示，在時間上的分布規律為：電場點分布于nΔt時刻而磁場點分布于(n+1/2)Δt時刻。

    由式(2)～式(4)可得用FDTD法計算電磁場的基本離散化方式：電場與磁場在時間和空間上都有半個步長之差，任意時刻，某網格點處的電（磁）場量值不僅與前一時刻的電（磁）場量值有關，而且與前1/2Δt時刻與空間上相鄰點的磁（電）場值有關。

    考慮到計算機的有限內存，用FDTD法求解電磁場時要將求解區域限定在有限空間內，這就要在截斷邊界處添加吸收邊界，以下是對Mur與PML兩種吸收邊界原理的簡單敘述。

1.1 Mur吸收邊界條件

    Mur邊界條件是根據EM^[6]（Engquist-Majda）吸收邊界推導所得的，對行波因子進行分解后的展開式有多階，通過理論分析判別得到：一階與二階的吸收邊界是良態的，更高階的吸收邊界是病態的^[6]。一階近似Mur吸收邊界雖簡單易行,但直角坐標系下的Yee網格劃分在角區域存在較大誤差^[7]，所以本文中用二階Mur邊界條件。若所計算的區域是矩形0≤x≤a，0≤y≤b，那么就存在四個截斷邊界。

    如圖3所示，以左截斷邊界x=0處的吸收邊界條件為例：

    同理可推導出其余三個邊界處吸收邊界的離散式。

    其余3個拐點附近的磁場值可通過替換式(9)中相應的坐標得到。

1.2 PML吸收邊界條件

    PML技術通過在FDTD區域截斷邊界處設置一種特殊介質層，使得該介質的波阻抗與相鄰介質的波阻抗完全匹配，這樣入射波將會無反射地穿過分界面而進入PML^[8]。PML邊界參數設置如圖5所示，圖中PML區域的參數必須滿足阻抗匹配條件式(10)，右上角介質層的網格劃分如圖6所示。

    由于電磁波在PML介質中衰減得很快，因此在PML區域中要使用指數差分對式(11)進行離散，所得PML區的計算公式為：

    同理根據式(10)可得出磁導率的變化公式。

    PML邊界的吸收性能主要受吸收層厚度及垂直波反射率的影響。理論上說，增大PML吸收層數N會使計算結果更加精確，但這會增大計算開銷；垂直波反射率R(0)越小則計算結果的精度越高。

    在文獻[6]中,通過數值實驗證明N=4的情況下，最優取值為n=2，R(0)=0.001％。

    Mur與PML邊界都是吸收效果較好且較常用的算法，對邊界處的波都有比較明顯的吸收效果，但對不同的應用背景選擇的吸收邊界條件也不同。

2 基于C++編程的仿真分析

2.1 仿真參數設置

    在x軸與y軸方向分別對轉接板上的水平互連結構進行網格剖分，設其長度為L，寬度為W，簡化圖如圖7所示。用FDTD法仿真不同吸收邊界條件下TE波在三維集成轉接板上傳播的流程圖如圖8所示。

    如圖9所示，設置100×100網格的自由空間作為驗證算例，添加PML吸收邊界時在四周各添加10個網格作為介質層。為了觀察不同吸收邊界的吸收性能，相應設置了由1 200×1 200網格自由空間構成的參考算例，并在四周設置PEC邊界。自由空間較大使得反射波在600?駐t后不會返回到取樣點，則參考算例中取樣點的場可作為參考場。

    在驗證算例和參考算例的中心位置放置微分高斯脈沖源（如式(19)）用于激發整個空間場，示意圖如圖10所示。

式中，τ=10Δt，代表高斯脈沖的寬度；t₀=30Δt，脈沖在t=t₀到峰值。時間步長Δt=max(Δx)/c，空間步長為max(Δx)=λ_min/20，其中，c是自由空間中的光速，λ_min是各種介質中最小波長，λ_min=10^-2 m，空間步長Δx=0.5 mm，時間步長Δt=1.666 7 fs。

2.2 誤差函數分析

    為了檢測吸收邊界條件的有效性，需要考慮加入吸收邊界后某點的磁場值與對應參考算例磁場值大小之間的差異。將觀察點設置于點P(119，70)，引入誤差函數式（20），通過計算P點場值的誤差，可以直觀判斷哪種吸收邊界條件更為合適。

    從圖11中可以看出，加入PML吸收邊界條件后，誤差函數的變化曲線幾乎一直保持比較穩定的狀態，沒有突變，最大誤差仍然在-100 dB以下。加入Mur吸收邊界條件后誤差曲線在時間步為300～350及575～580內變化劇烈，吸收性能不穩定。這表明二維TE波中PML邊界的吸收性能比Mur吸收邊界更穩定。

2.3 等相位線分析

    圖12所示為加入Mur吸收邊界條件。從圖12（a）和圖12（b）可以看出：加入PML吸收邊界后等相位線呈現同心圓分布，且可以在足夠長的迭代時間內不發生數值發散。加入Mur吸收邊界以后，等相位線不是完整的同心圓分布，波傳播到網格最外層出現了邊界反射。因此從等相位線的角度出發，可以認為PML邊界設置可以較好地吸收邊界處的波而幾乎不發生反射。

    根據仿真分析，不同的邊界條件有各自的優缺點：

    (1)Mur吸收邊界條件：吸收性能相對較差，算法原理相對簡單，所需的內存較少。

    (2)PML吸收邊界條件：在合理的參數設置下吸收性能較好，但是采用分裂場的形式會占用較多的內存。

    綜上所述：加入PML吸收邊界后，等相位線呈同心圓分布，誤差函數呈穩定狀態，并且波在傳播過程中基本沒有明顯的邊界反射現象。這說明在處理三維集成轉接板互連結構中的電磁干擾等相關問題時，PML吸收邊界條件具有較良好的吸收效果。

3 結論

    本文針對三維集成轉接板水平互連結構間基于FDTD算法的TE電磁波傳播仿真的邊界條件設置問題進行了分析與驗證。對二階Mur邊界與PML邊界這兩種吸收邊界在電磁仿真中吸收電磁波的性能進行了分析比較。結果表明加入Mur吸收邊界條件雖算法簡單、內存占用較少，但吸收效果顯然不如PML吸收邊界。加入PML吸收邊界使結果更加穩定且不會產生數值發散，提高了計算結果的精度，可以作為工程中對三維集成轉接板電磁傳播問題進行仿真求解的常規邊界條件設置。

參考文獻

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[2] 閆淑輝.基于時域有限差分(FDTD)法的通用電磁仿真軟件設計[D].成都：電子科技大學，2003.

[3] MUR G.Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equations[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1981，EMC-23(4)：377-382.

[4] MEI K，FANG J.Superabsorption-a method to improve absorbing boundary conditions[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(9)：1001-1010.

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[6] ENGQUIST B，MAJDA A.Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves[J].Mathematics of Computation，1977，31(139)：629-651.

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[8] 施亞妮，李麗娟.FDTD方法吸收邊界條件的研究及應用[J].計算機仿真，2008(7)：113-116，148.

作者信息:

張云霞1，繆  旻1，2，胡變香1，韓  波3，李振松1

(1.北京信息科技大學 信息微系統研究所，北京100101；

2.北京大學 微米/納米加工技術國家級重點實驗室，北京100871；

3.電信科學技術研究院有限公司 無線移動創新中心，北京100080)