摘 要： 針對認知無線電" title="認知無線電">認知無線電中的功率控制" title="功率控制">功率控制問題，基于非合作博弈" title="非合作博弈">非合作博弈模型，提出了一種新的效用函數" title="效用函數">效用函數，證明了該博弈中納什均衡的存在性和唯一性。設計了一種分布式功率控制算法并證明了其收斂性。討論了幾個參數對系統性能的影響。仿真表明，該算法可實現對認知用戶發射功率" title="發射功率">發射功率的有效控制。與SINR平衡算法和Koskie-Gajic算法相比，本算法既保障了每個認知用戶的QoS需求，又增加了系統吞吐量。
關鍵詞： 功率控制； 認知無線電； 非合作博弈； 效用函數
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認知無線電CR(Cognitive Radio)是一種提高無線電通信頻譜利用率的新技術，為解決當前效率低下的頻譜管理方式與不斷增長的頻譜資源需求之間的矛盾提供了一種新的解決方案[1]。發射功率是認知無線電中的重要資源，該資源如果得到有效利用，就能減小認知用戶對授權用戶的干擾，同時使認知用戶享受更好的服務質量QoS(Quality of Service)，增加系統容量。
近年來，眾多學者在功率控制領域做出了許多成果[2-6]，而博弈論(Game Theory)解決功率控制問題也被學者所關注[7][8]。博弈論是一種對緊缺資源分布式配置問題的求解方法。該方法算法復雜度低，所需全局信息少，適合應用于認知無線電中[1]。
參考文獻[6]提出了一種基于信干噪比SINR(Signal to Interference Plus Noise Ratio)平衡的分布式功率控制算法(簡稱SINR平衡算法)。該算法能夠保證每個認知用戶的服務質量。但其收斂信干噪比固定，不能隨著多址干擾和噪聲的變化而變化。參考文獻[7]提出了一種基于價格函數(Price Function)的功率控制算法(簡稱Koskie-Gajic算法)。該算法可通過適當降低SINR來大幅降低發射功率，但各用戶的目標SINR無法充分保證。參考文獻[8]提出了一種表征單位電池能量傳輸比特數的效用函數。
本論文根據無線數據網絡中用戶QoS滿意度的特點，引入一種新的效用函數，提出了一種基于博弈論的功率控制算法。該算法能夠解決認知無線電系統中分布式的功率控制問題。論文證明了該效用函數的納什均衡存在性、唯一性及算法的收斂性,并對算法性能進行了仿真。
1 系統模型
考慮一個采用CDMA制式的中心輻射式認知無線電網絡。設該網絡中某小區有N個認知用戶和1個基站。基站負責頻譜空穴檢測和頻譜資源分配。在授權用戶的空閑頻段上，網絡采用CDMA工作方式；一旦檢測到該頻段被授權用戶占用，便及時通知認知用戶切換到備用頻段。假設基站已經完成了頻譜資源的分配。設第i個用戶的擴頻帶寬為W，單位Hz；傳輸速率為Ri，單位為b/s；發射功率為pi；認知用戶i到基站的鏈路增益為hi；基站處的背景噪聲為δ2。則第i個認知用戶在基站處的信干噪比定義為[8]：
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2 基于非合作博弈的功率控制
2.1 非合作博弈功率控制模型
? 非合作博弈功率控制模型表示為NPCG=(I,{Pi},{ui})。其中，I={1,2,…，N}表示參與功率控制的用戶集合；Pi表示認知用戶i的策略空間，即發射功率集合，各認知用戶在一次博弈中選擇的策略構成功率矢量p=(p1,p2,…,pN)。ui(p)=ui(pi, p-i)表示用戶i的效用，即對所選擇策略的滿意程度，其中p-i表示除了認知用戶i之外的N-1個認知用戶的策略。認知用戶選擇策略的原則是最大化自己的效用，使博弈穩定于納什均衡(Nash Equilibrium)點。
2.2 新的效用函數
在無線數據網絡中，認知用戶的效用隨著信干噪比的增加而增加，但增加的速度會隨著信干噪比的增加而減小，增大到一定的信干噪比后，效用會接近于常數。此時再增大發射功率反而會浪費電池能量。根據分析，定義一種基于信干噪比滿意度的新效用函數。對認知用戶i有：
其中，γi為認知用戶i基站處的信干噪比，γitar為認知用戶目標信干噪比，αi為陡峭系數，λi為價格系數。
新效用函數由兩部分組成。前一部分是以超過目標信干噪比的差值為自變量的反正切函數，表征認知用戶對信干噪比的滿意程度。當自變量趨于無窮大時，反正切函數的值收斂到一個常數，這符合認知用戶對信干噪比滿意度的特點。陡峭系數可以控制反正切函數的陡峭程度，實現在發射功率和信干噪比間的折衷：陡峭系數較小，曲線較平坦，當信干噪比較大時認知用戶才能滿意；陡峭系數較大，曲線較陡峭，信干噪比只需稍大于目標值，認知用戶就能達到最大滿意度。
后一部分是價格函數。對認知用戶進行價格懲罰的目的是使之不再一味增大發射功率和提高信干噪比。通過價格的強迫手段達成“合作”效果，引導認知用戶合理利用系統資源。因此認知用戶犧牲一定的信干噪比后，發射功率可大幅降低，電池壽命得以延長，同時對其他認知用戶造成的干擾降低。
2.3 納什均衡和新算法的迭代公式求解
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則這個策略(pi,p-i)是納什均衡點。
納什均衡也可以用對應反應的概念來描述。
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2.4 納什均衡解的存在性唯一性和算法收斂性
下面給出新的非合作功率控制博弈的納什均衡存在性的證明。
定理1：新的非合作功率控制博弈存在納什均衡。
文獻[8]和文獻[9]指出，如果以下條件滿足，則非合作博弈存在納什均衡：
(1) Pi是歐氏空間RN中非空的、閉的、有界的凸集；
(2) ui(p)=ui(pi,p-i)在p上連續，在pi上擬凹(quasi-concave)。
證明：每個認知用戶的策略空間定義在[0,Pimax]，這是一個實數的、有界的閉區間，條件1滿足。顯然ui(p)在p上是連續的。下面證明在pi上是擬凹的。
效用函數ui(p)對pi的二階微分為:
可知ui(p)在pi上是凹函數，凹函數也是擬凹的。因此滿足條件2。所以新的非合作功率控制博弈存在納什均衡。
定理2：新的非合作功率控制博弈的納什均衡唯一。
根據定義，納什均衡點處滿足
。證明納什均衡點唯一，只須證明對應反應是一個標準函數(standard function)[8][9]。一個函數如果滿足下列三個性質就是標準的：
??? 
因此當式(7)滿足時，新的非合作功率控制博弈的納什均衡點唯一，新算法收斂于唯一點。
3 仿真結果及性能分析
首先分析新算法各參數對發射功率和信干噪比的影響?？紤]第1節所述的認知無線電網絡中某一小區。各個認知用戶等間隔地分布在距離中心基站1 000m的范圍內，初始功率均為5×10－15W。當前后兩次迭代的功率差小于10－5W時，迭代結束。主要仿真參數：擴頻帶寬5MHz，發送速率10kb/s，背景噪聲5×10－15W，信道增益0.007 5×d－3.6(d為用戶距離基站的距離)。
3.1 價格系數的影響
設陡峭系數為50，用戶數為40，目標信干噪比為9，給出不同價格系數下，發射功率和信干噪比隨認知用戶與基站距離變化的關系圖，如圖1和圖2所示。
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當價格系數增大，認知用戶的發射功率減小時，信干噪比減小。由于認知用戶的功率消耗減小，電池壽命延長，同時也減小了對其他認知用戶的干擾。引入價格函數的目的是抑制各個認知用戶在非合作博弈中“自私地”最大化自己效用的行為。定量分析可知，認知用戶以犧牲少量信干噪比為代價，發射功率卻得到了大幅降低（少于原來的1/10）。
3.2 陡峭系數的影響
設價格系數為50，認知用戶數為40，目標信干噪比為9，改變陡峭系數，給出不同陡峭系數下，發射功率和信干噪比隨認知用戶與基站距離變化的曲線圖，如圖3和圖4所示。
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陡峭系數減小，認知用戶發射功率增大，信干噪比增大。因為陡峭系數越大，效用函數曲線越陡峭。此時用戶只需較小的發射功率，使得信干噪比稍稍大于目標值信干噪比，就可以使效用達到比較大的程度，認知用戶對當前的QoS就滿足了。反之，陡峭系數越小，認知用戶對信干噪比要求較高，于是以發射功率增大來換取信干噪比的提高。陡峭系數體現了認知用戶信干噪比、發射功率的折衷關系。
3.3 算法性能分析
從認知用戶需求和系統性能兩方面分析算法性能。為直觀起見，將本算法和SINR平衡算法及Koskie-Gajic算法進行比較，包括認知用戶平均發射功率、平均信干噪比和系統吞吐量。系統吞吐量采用以下香農公式表示：
3.3.1 平均發射功率與平均信干噪比
設價格系數為5 000，陡峭系數為500，目標信干噪比為9，給出平均發射功率和平均信干噪比隨用戶數變化的曲線圖，如圖5和圖6所示。
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在不超過小區容量的前提下，SINR平衡算法的信干噪比一直保持在目標值上，不隨用戶干擾和環境噪聲的變化而變化，造成資源利用率下降，系統吞吐量降低。Koskie-Gajic算法無法保障認知用戶的信干噪比，因此對信干噪比要求嚴格的通信系統來說該算法就失去了意義。而新算法有最低信干噪比的保障，且信干噪比可以靈活調整，使系統資源利用率得到提高。3.3.2 系統總吞吐量
設認知用戶數為30和40，給出平均發射功率與總吞吐量的關系如圖7所示，其他參數同3.3.1節。
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從圖7可知，新算法對系統吞吐量的提高較之另外兩種算法比較明顯。當多址干擾加劇(認知用戶數增大)，隨著發射功率的增加，Koskie-Gajic算法的吞吐量比新算法略有提高。但此時Koskie-Gajic算法中用戶的目標信干噪比已經無法保證，在QoS要求嚴格的系統中這是不可接受的。此時系統吞吐量的提高已經失去意義。?對于SINR平衡算法，雖然認知用戶的信干噪比要求得到了保證，但僅僅是滿足要求。某些認知用戶由于距離基站近或信道條件好，本可以獲得更高的信干噪比，而SINR平衡算法限制了這一點，造成了系統整體性能不能充分發揮。Koskie-Gajic算法則過分強調對認知用戶發射功率的控制，而忽視認知用戶最基本的QoS需求。新算法既考慮到每個認知用戶的QoS要求，又兼顧到系統吞吐量，通過調整參數控制發射功率，降低了認知用戶間的干擾，提高了認知無線電系統性能。
本文設計了一種新的反正切型效用函數，提出了一種認知無線電系統中基于非合作博弈的分布式功率控制算法，證明了納什均衡的存在性、唯一性和算法的收斂性。仿真表明：通過調整參數，可有效控制認知用戶的發射功率，降低認知用戶間的干擾；認知用戶的QoS需求得到保證，且算法有較好的收斂性；與SINR平衡算法和Koskie-Gajic算法相比，該算法在相同的平均發射功率下可以獲得更高的吞吐量。但本算法的收斂性受到了式(7)的制約，使得陡峭系數和價格系數不能隨意變化，系統性能受到限制。這需要在以后的研究中加以改進。
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