摘  要： 在基于橢圓曲線離散對數的安全機制的前提下，討論了(t，n)門限加密模式。在該模式中，系統公鑰由成員協同產生， t個或t個以上成員可以間接地解開密文。由于(t，n)門限加密模式秘密信息較少，所以具有良好的安全性，且計算復雜度較低。
關鍵詞： 秘密共享；可信中心；加密

    門限秘密共享由SHAMIR[1]和BLAKLEY[2]于1979年獨立提出，他們分別利用有限域中的Lagrange插值多項式和幾何映射構造出了(t，n)門限秘密共享方案，這些方案存在著可信中心。隨后許多學者對可信中心的存在情況進行了深入研究。1991年，INGEMARSSON和SIMMONS[3]提出了一種無可信中心秘密共享思想。HARN[4]于1994年提出了一種基于ELGamal簽名的、不需要可信中心的門限群簽名方案，該方案沒有可信中心，但是超過門限值的成員能夠協同恢復其他成員的私鑰。參考文獻[5-7]等分別提出了一個無需可信中心的門限簽名方案，但簽名者之間需要進行秘密通信來交換信息。參考文獻[8]提出的門限簽名方案無需秘密通信。隨后，很多學者對這方面進行了大量的研究和改進[9-10]。
    目前，無可信中心秘密共享的研究主要集中在門限數字簽名上，對于門限加密的研究尚且不多。為此，本文在基于橢圓曲線公鑰體制的前提下，提出了無可信中秘密共享加密模式。該模式中，成員協同作用生成各自的秘密份額，參與者之間無需傳遞任何秘密信息。由秘密份額計算出相關的可公開信息，從而生成系統公鑰。解密過程中，也是由合作的參與者通過秘密份額計算一個可驗證的偽份額，最終間接地完成解密，從而保證了系統私鑰可重復使用。利用公開信息來驗證參與者提供的有用信息，在很大程度上提高了系統的執行效率。
1 預備知識
1.1 SHAMIR的門限秘密共享方案
(1)初始化階段：秘密分發者D隨機地從GF(q)(q為素數且q>n)中選取n個不同的非零元素x1，x2，…，xn，D將xi分配給Pi(i=1，2，……，n)，且xi的值是公開的。
(2)秘密分發階段：設共享秘密為s∈GF(q)，D隨機地選擇GF(q)中的t-1個元素a1，a2，…，at-1，構造一個t-1次多項式f(x)=s+a1x+a2x2+…+at-1xt-1 mod q，D計算yi=f(xi)(i=1，2，…，n)，yi作為s的子秘密。
    (3)秘密恢復階段：t個成員Pi(i=1，2，…，t)交換各自的秘密份額，得到：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xt，yt)，就可通過式(1)恢復共享秘密s。
    s=■yi■■mod q(1)
1.2 橢圓曲線實現 Elgamal密碼體制
首先選取一條橢圓曲線Ep(a，b)，p為一個奇素數，G為橢圓曲線的基點，q為G的階，Ep(a，b)和G公開。設明文為m，將明文通過編碼嵌入到曲線上得點Pm，再對點Pm進行加密。另設用戶UA及UB。
(1)UB加密：用戶UA選SA作為私鑰，并以PA=SAG作為公鑰。任一用戶UB如果想向UA發送消息Pm，可選取一隨機正整數k，產生以下點對作為密文：Cm={kG，Pm+kPA}。
(2)UA解密：UA解密時，以密文點對中的第2個點減去用自己的秘密鑰與第1個點的倍乘，即Pm+kPA-SAkG=Pm+k(SAG)-SAkG=Pm。
2 本方案的描述
2.1 系統初始化
初始化過程完成各參與者的私鑰、秘密份額及系統公鑰的產生。假設P={P1，P2，…，Pn}為n個成員的集合，每個成員Pi(Pi∈P)擁有私鑰di，IDi是每個Pi唯一的身份標識，t為門限值。首先選取一條橢圓曲線Ep(a，b)，G為橢圓曲線的基點，q為G的階，Ep(a，b)和G公開。
(1)Pi∈P在[1，q-1]中隨機選擇一個整數di作為私鑰，公鑰為diG，并產生隨機數集{ai，k|k=1，2，…，t-1}。構造一個t-1次多項式：
fi(x)=di+ai，1x+…+ai，t-1xt-1mod q(2)
其中di=fi(0)。Pi把fi(IDj)發送給其他n-1個成員Pj(j≠i)∈P。fi(IDi)自己保留。再計算驗證參數：?琢ik=ajkG，k∈{1，２，…，t-1}。
每個Pj(j≠i)∈P接收到其他n-1個成員的廣播信息后，Pj通過式(3)驗證fi(IDi)：     
fi(IDj)G=diG+■(IDj)k?琢ik(3)
若式(3)成立，則fi(IDj)有效；否則，Pj拒絕fi(IDj)，并要求Pi重新發送。
(2) 秘密份額的生成：每個Pi從其他n-1個成員接收到了所有正確的秘密份額以后，通過式(4)計算各自的秘密份額，并廣播Yi=F(IDi)G mod q。
F(IDi)=■fj(IDi)mod q(4)
(3) 系統公鑰生成：系統私鑰F(0)=■F(IDi)■■mod q，基于拉格朗日插值多項式，利用公開信息計算系統公鑰：
y=F(0)G modq
=(■F(IDi)■■mod q)G mod q
 =[(■F(IDi)■■mod q)·(G mod q)]mod q
 =(■F(IDi)■■G)mod q(5)
 =■(■■F(IDi)G mod q)mod q
 =■(■■Yi)mod q
然后公開y。
2.2 加密過程    
為不失一般性，假設明文為m，將m通過編碼映射到曲線上得點Pm，再對點Pm進行加密。
(1)UA選取一個隨機數k，并使其滿足1≤k≤q-1。
(2)計算C1=kG mod q和C2=Pm+ky mod q，產生點對密文：Cm={C1，C2}。
(3)將密文Cm發送給P。
2.3 驗證過程
P中任意t個或t個以上的參與者合作可以解開密文，為不失一般性，設P中t個參與者集合為W={P1，P2，…，Pn}。收到密文后，W中每個成員Pi利用自己的秘密份額，通過式(6)各自計算出si(i=1，2，…，t)，參與者彼此交換份額si。
si=F(IDi)■■C1(6)
每個Pi(j≠i)∈P能夠通過判斷等式siG=C1Yi■■是否成立來驗證Pi(i=1，2，…，t)所提供的份額的真偽。如果等式成立，那么Pi所提交的份額是正確的，接著執行下面的步驟；否則就要求Pi重新發送份額。
2.4 解密過程
當收到了t份si后，就通過式(7)計算得出F(0)C1 modq。
 F(0)C1 modq=[(■F(IDi)■■mod q)·(KG mod q)]mod q
=(■F(IDi)■■KG)mod q
=■(F(IDi)■■KGmod q)(7)
=■(F(IDi)■■C1)
=■si
解密時，以密文對中的第2個點減去用組私鑰與第1個點的倍乘，即：
Pm=Pm+[k(F(0)G mod q)-F(0)kG mod q] mod q=
Pm+k(F(0)G mod q)mod q-F(0)kG mod q=
Pm+ky mod q-F(0)kG mod q=(8)
    C2-F(0)C1=
    C2-∑si
3 方案分析
３.1 方案特點
(1)本方案不需要可信中心管理參與者的密鑰，成員協同產生各自的秘密份額，每個參與者只需保留一個自己的私鑰和一份秘密份額。
(2)在初始化階段，系統公鑰由達到門限值的成員組協同產生并公開，但這些成員組是無法共同生成系統私鑰F(0)的，即P中任一成員都不知道系統私鑰。
(3)秘密份額產生后，公開Yi=F(IDi)G mod q，系統公鑰不是由系統私鑰直接產生，而是由公開信息間接生成。在解密過程中，每個合作的參與者只需向解密者提交一個由秘密份額計算的、可驗證的偽份額si，即可間接達到解密效果。
3.2 安全性分析
(1)系統私鑰F(0)是安全的。基于求解橢圓曲線上離散對數問題的困難性，由系統公鑰y=F(0)G mod q無法計算出系統私鑰F(0)，由■si=F(0)C1 mod q也不能計算出系統私鑰F(0)，從公鑰diG(i∈{1，２，…，n})無法得到di(i∈{1，２，…，n})，所以無法生成系統公鑰F(0)=■fi(0)mod q=■di mod q。對于由每個成員的秘密份額得出的公開信息Yi=F(IDi)G mod q(i∈{1，２，…，t})，由于無法獲取秘密份額F(IDi)，故無法生成系統私鑰F(0)=■F(IDi)■■mod q。
(2)能夠有效地阻止主動攻擊。如果有偽造者想要假冒成合法成員P中的一員(如Pi)，那么它要構造一個多項式fi′(x)。但是，由于偽造者不知道Pi的私鑰di，所以fi′(0)≠di。如果fi′(0)≠di，則份額fi′(IDj)就不滿足式(3)的驗證，從而達不到偽造的初衷，所以偽造者不能阻止誠實成員生成系統公鑰。
(3)解密前能夠驗證Pi是否提供虛假信息來欺騙其他參與者。解密過程中，解密者通過判斷式siG=C1Yi■■成立與否來驗證各成員提供的信息的真偽。除了si以外，其他信息均公開或可計算，所以要偽造一個新的滿足條件等式的si是不可行的。
(4) 有別于傳統的研究方法，本方案中對防欺騙研究側重于安全交換協議。具體做法體現在方案中秘密份額的生成和認證，能在事前有效地阻止惡意成員的欺騙行為。是否滿足式(3)是判斷份額正確性的標準。
本文構造了一個無可信中心的秘密共享加密模式，每個參與者只需要產生一個私鑰，秘密份額由成員協同產生，成員協同產生用于加密的系統公鑰，t個或t個以上成員利用秘密份額計算并提供正確的信息，可以間接地解開密文。本文是基于橢圓曲線公鑰密碼體制的，系統私鑰的安全性基于橢圓曲線上的離散對數問題的難解性。該方案中，每個成員需保留的秘密信息只有一個自己的私鑰和一份秘密份額，即使存在著超過門限值的成員協同作用，也無法將其他成員的私鑰恢復，使無可信中心的特點及優點得到了較好的實現。
參考文獻
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[10] 龐遼軍，李慧賢，王育民.一個(t，n)門限簽名-(k，m)門限驗證的群簽名方案[J].計算機科學，2006，33(11)：76-78.