摘  要： 迭代重建法能夠解決徑向采樣數據欠采樣后網格化重建存在偽影的問題。非線性反演法能夠提高并行磁共振成像圖像重建的質量，它能夠利用少量k-空間中心的數據來同時估計圖像的信息和線圈的靈敏度。利用TV正則化的高斯牛頓迭代方法對欠采樣因子較大的徑向軌跡并行磁共振數據進行重建，得到無偽影的高質量圖像。
關鍵詞： 徑向采樣；并行成像；網格化；非線性反演

    磁共振成像MRI（Magnetic Resonance Imaging）自1973年由LAUTERBUR P提出并得到第一幅質子密度加權圖像[1]到現在已經經歷了幾十年的發展，但是傳統的MRI成像時間長，對于一些運動快的部位的成像有偽影。因此，幾十年來學者們一直致力于加快MRI成像速度。傳統MRI采用笛卡爾軌跡，它的重建方法簡單，但逐行采集對運動造成的偽影很敏感。非笛卡爾采樣（如徑向采樣）比笛卡爾采樣有明顯的優勢：(1)徑向采樣數據的每條線含有等量的低頻到高頻信息，這有利于MRI圖像的欠采樣重建；（2）徑向采樣模式決定其對k-空間中心數據的過采樣，而k-空間中心數據決定圖像的主要信息，因此徑向采樣對物體的運動沒有笛卡爾采樣那么敏感，這也有利于MRI圖像的對比度和并行成像，從欠采樣數據中獲得低分辨率圖像。
     由于徑向采樣不是均勻采樣，因此不能直接進行傅里葉變換而得到圖像。目前對徑向采樣的重建方法主要有非均勻傅里葉變換NUFFT（Non-Uniform FFT）、濾波反投影法FBP（Filtered Back Projection）和網格化法（Gridding）[2-3]。對于欠采樣數據，徑向采樣的重建存在嚴重的拖尾偽影，BLOCK K T等[4]于2007年提出用合適的懲罰項和TV正則化迭代的方法可以消除拖尾偽影。近年來有研究顯示，正則化高斯牛頓迭代法已成功應用于并行成像。如今，將非笛卡爾采樣軌跡應用到多通道并形成像是研究的熱點。本文將用網格化方法把徑向采樣數據插值到網格點，然后利用TV正則化高斯牛頓迭代法對多通道徑向稀疏采樣數據進行重建。
1 網格化法
    網格化法來源于射電天文學（Radio Astronomy），是插值重建算法的一種，它的過程是先將非笛卡爾采樣數據插值到笛卡爾坐標系下均勻分布的網格點上，然后進行傅里葉變換得到磁共振圖像。1985年，O′SULLIVAN對網格化法進行了研究，認為最理想的卷積核函數是無限長的sinc函數，然而實際過程中只能采用有限長的卷積核函數。1991年，美國Stanford大學的JACKSON J L提出用Kaiser-Bessel窗函數作為卷積函數能夠得到較好的插值結果，這一結論得到廣泛的認同。
 
2 非線性反演法
    對于并行磁共振成像的圖像重建，基本的信號方程可以理解為一個非線性方程，正則化非線性反演法可以同時獲得圖像和線圈靈敏度[5-6]。用Fs代表采樣軌跡，從N個線圈接收到采樣后的數據用g表示，g=(g1，…，gN)T，u表示質子密度，未知的線圈靈敏度表示為c=(c1，…，cN)T，則信號方程為：

3 實驗
    實驗數據來自西門子磁共振儀對志愿者用徑向脈沖序列進行心臟掃描，得到12通道并行徑向數據，每個通道數據都是25×256的矩陣，即采集25條徑向線，每條徑向線采256個數據點。用MATLAB 7.0仿真軟件對原始數據先用網格化方法插值到均勻網格點，繼而用非線性反演法中IRGN法迭代6次，懲則項用2-范數，正則化用TV法。
    12通道徑向采集數據經網格化后得到的圖像如圖1所示，由于只采25條徑向線，因此各通道圖像都只能重建出心臟的輪廓，而且偽影很嚴重。

    仿真后的圖像如圖2所示。其中，圖2（a）為把多通道數據直接網格化后對數據用平方和法得到的圖像，從圖像中可以比較清楚地看到心臟，周圍的偽影是徑向成像獨有的拖尾偽影，這是由采集的數據過少造成的。圖2（b）為對網格化后數據用IRGN法迭代6次后的圖像，與圖2（a）相比，偽影已經消失，圖像也清楚很多。

   本文結合多通道并行成像可以加快成像速度和徑向采樣對低頻數據的過采樣的優點，同時又采用IRGN方法消除了徑向稀疏采樣網格化重建存在的拖尾偽影，用非常少的數據得到較好的圖像。
參考文獻
[1] LAUTERBUR P C. Image formation by induced local interactions： examples employing nuclear magnetic resonance [J]. Nature， 1973， 242： 190-191.
[2] O′SULLIVAN J. A fast sinc gridding algorithm for Fourier inversion in computer tomography[C]. IEEE Transactions on Medical Imaging， 1985（4）： 200-207.
[3] JACKSON J L， MEYER C H， MISHIMURADG， et al. Selection of a convolution function for Fourier inversion using gridding[C]. IEEE Transactions on Medical Imaging，1991（10）： 473-478.
[4] BLOCK K T， UECKER M， FRAHM J. Undersampled radial MRI with multiple coils. Iterative image  reconstruction using a total variation constraint [J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2007（57）： 1086-1098.
[5] KNOLL F， CLASON C， BREDIES R， et al. Parallel imaging with nonlinear reconstruction using variational penalties[J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2012（67）：34-41.
[6] UECKER M， HOHAGE T， BLOCK K T， et al. Image reconstruction by regularized nonlinear inversion-joint estimation of coil sensitivities and image content [J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2008 （60）：674-682.
[7] BAKUSHINSKY A B， KOKURIN M Y. Iterative methods for approximate solution of inverse problems[M]. Dordrecht： Springer， 2004.
[8] UECKER M， Zhang Shuo， FRAHM J. Nonlinear inverse reconstruction for real-time MRI of the human heart using undersampled radial FLASH[J]. Magnetic Resonance in Medicine， 2010（63）：1456-1462.