摘  要： 在高速設計中，反射是其中的一個重要問題。消除反射的最好辦法就是保證傳輸線的阻抗連續。分別從基于集總LC模型的理想無損傳輸線和基于集總RLGC模型的傳輸線的阻抗連續特性出發，通過歸納的方法得到了基于集總LC模型的理想無損傳輸線和基于集總RLGC模型的傳輸線的阻抗計算公式。

　　關鍵詞： 反射；阻抗連續性；傳輸線；集總模型

　　在電子系統中，設備與設備之間，器件與器件之間都是通過導線相連的。常見的傳輸線既包括平行雙導線、同軸線和雙絞線等電纜傳輸線，也包括PCB板上微帶線和帶狀線，如圖1所示。這些導線有的很短，也有導線很長，信號從信號源端傳到負載終端需要一定的時間，這段時間對于低速電路系統可以忽略，但是對于高速電路系統會產生重要影響，不能忽略。對于這種必須考慮信號傳輸的連接線，稱之為傳輸線。由于信號在其上的傳輸需要時間，因而常常也將傳輸線稱之為延遲線。

　　如果傳輸線的任何一處的橫截面都相同，就稱為均勻傳輸線，由于其阻抗可控，也稱為可控阻抗傳輸線。如果傳輸線的橫截面不均勻，就會出現阻抗不連續。阻抗不連續的后果就是高速信號在傳輸時出現電磁波的反射，使信號波形嚴重畸變，并且引起一些有害的干擾脈沖，影響整個系統的正常工作。

　　通常阻抗定義為電壓與電流之比。在傳輸線中，這個定義仍然有效，傳輸線上任何一處的瞬時電壓與瞬時電流成正比，流過傳輸線的瞬時電壓和瞬時電流的比值就稱為瞬態阻抗[1]。傳輸線的瞬態阻抗僅由傳輸線的橫截面和材料特性共同決定，瞬態阻抗等于施加的電壓與流過器件的電流的比值。特性阻抗是傳輸線的固有屬性，僅與材料特性、介電常數、頻率有關，而與傳輸線的長度無關。只要這3個參數不變，瞬態阻抗就是一個常數。對于一個均勻的傳輸線，任何一處的瞬態阻抗都是相同的，這樣一個恒定的瞬態阻抗就稱為傳輸線的特性阻抗。

　　傳輸線是一個典型的分布參數系統，信號是以電磁波的形式在信號通道上傳輸，信號通道是由電阻、電容、電感及電導組成的復雜網絡。通常在電路分析中，使用集總參數系統來描述傳輸線。集總參數系統就是把傳輸線的某一段分布參數（如阻抗、容抗、感抗和電導）作為一個元件集中于空間的各個點上，各點之間的信號是瞬間傳遞的。本文將傳輸線分為基于集總LC模型的理想無損傳輸線和基于集總RLGC模型的實際傳輸線兩種情況來討論，得到各自狀況下的阻抗計算公式。

　　1 基于集總LC模型的理想無損傳輸線阻抗求解

　　理想無損是一種理想狀態，在該狀態下，整個傳輸線可以用集總LC模型來描述。首先從簡單的單節理想傳輸線的集總LC模型出發，逐步過渡到兩節，甚至n節，最后推廣到無窮節集總LC模型，得到理想狀況下的阻抗計算公式。

　　1.1 單節理想傳輸線集總LC模型

　　單節理想傳輸線集總LC電路模型如圖2所示[2]。整個傳輸線由分布電感L和分布電容C及特性阻抗Z0組成。

　　根據阻抗連續特性的要求，必然得到A的阻抗ZA和特性阻抗Z0相等，根據這個條件得到下列方程：

　　ZA=//（j?棕C+Z0）=Z0（1）

　　求解方程可以得到特性阻抗Z0：

　　Z0=-j（2）

　　1.2 兩節理想傳輸線集總LC模型

　　把整個傳輸線分成兩段，組成兩節理想傳輸線集總LC模型。如圖3所示，兩節理想傳輸線集總LC模型的組成和單節理想傳輸線集總LC模型類似。不同的是它由兩個單節模型組成，而且其中的分布電感為L/2，分布電容為C/2。

　　假設單節集總LC模型的阻抗公式依然成立，將分布電感L/2和分布電容C/2帶入式（2）后得到：

　　Z0=-j（3）

　　將Z0的值代入后求得：

　　ZB=-j=Z0（4）

　　將ZB的值代入后求得：

　　ZA=-j=ZB=Z0（5）

　　通過式（5），得到了兩節集總LC模型的阻抗公式。同時證明了前面假設的單節集總LC模型的阻抗公式在兩節模型中依然成立。

　　1.3 n節理想傳輸線集總LC模型

　　把整個傳輸線分成n段，組成n節理想傳輸線集總LC模型，如圖所示。n節理想傳輸線集總LC模型的組成和單節理想傳輸線集總LC模型類似。不同部分是它由n個單節模型組成，而且其中的分布電感為L/n，分布電容為C/n。依然假設單節集總LC模型的阻抗公式成立，根據單節集總LC模型的阻抗公式，將分布電感L/n和分布電容C/n帶入式（2）后得到：

　　Z0=-j（6）

　　將Z0的值代入后求得：

　　ZB=-j=Z0（7）

　　逐級帶入后求得：

　　ZA=-j=…=ZB=Z0（8）

　　通過式（8），得到了n節集總LC模型下的阻抗公式。同樣證明了前面假設的單節集總LC模型的阻抗公式在n節模型中依然成立。因此可以將式（6）推廣到任意節集總LC模型。

　　用集總LC模型來模擬傳輸線，模型的節數越多越能近似模擬理想傳輸線，所以可以取LC節數為無窮大。根據上面的結論，當n→∞，可以得到：

　　就是得到的理想狀態下傳輸線的阻抗計算公式。當n→∞，可以得到一個簡明的無窮節集總LC電路模型，如圖5所示[3]。

　　2 基于集總RLGC模型的傳輸線阻抗求解

　　實際的傳輸線一般用集總RLGC模型來描述。首先從簡單的單節集總RLGC模型出發，逐步過渡到兩節，甚至n節、無窮節集總RLGC模型，得到實際狀況下的傳輸線的阻抗計算公式。

　　2.1 單節傳輸線集總RLGC模型

　　單節傳輸線集總RLGC電路模型如圖6所示[4]。整個傳輸線由分布電感L、分布電阻R、分布電導G和分布電容C及特性阻抗Z0組成。

　　根據傳輸線阻抗連續特性的要求，必然得到A的阻抗ZA和特性阻抗Z0相等，根據這個條件得到下列方程：

　　ZA=//（R+j?棕C+Z0）=Z0（10）

　　求解方程可以得到特性阻抗Z0：

　　Z0=zB+ZA（11）

　　2.2 兩節傳輸線集總RLGC模型

　　把整個傳輸線分成兩段，組成兩節傳輸線集總RLGC模型。兩節傳輸線集總RLGC模型的組成和單節傳輸線集總RLGC模型類似。不同的是它由兩個單節模型組成，而且其中的分布電感為L/2，分布電阻為R/2，分布電導為G/2，分布電容為C/2。

　　假設單節集總RLGC模型的阻抗公式依然成立，將分布電感L/2、分布電阻R/2、分布電導G/2和分布電容C/2帶入式（11）后得到：

　　Z0=L/2+ZB（12）

　　將Z0的值代入后求得：

　　ZB==Z0（13）

　　將ZB的值代入后求得：

　　ZA==ZB=Z0（14）

　　通過式（14），得到了兩節集總RLGC模型下阻抗公式。同時證明了前面假設的單節集總RLGC模型的阻抗公式在兩節模型中依然成立。

　　2.3 n節傳輸線集總RLGC模型

　　把整個傳輸線分成n段，組成n節傳輸線集總RLGC模型。n節傳輸線集總RLGC模型的組成和單節傳輸線集總RLGC模型類似。不同部分是它由n個單節模型組成，而且其中的分布電感為L/n，分布電阻為R/n，分布電導為G/n，分布電容為C/n。依然假設單節集總RLGC模型的阻抗公式成立，根據單節集總RLGC模型的阻抗公式，將分布電感L/n、分布電阻R/n、分布電導G/n和分布電容C/n

    到了n節集總RLGC模型下的阻抗公式。同樣證明了前面假設的單節集總RLGC模型的阻抗公式在n節模型中依然成立。通過上述的歸納證明，可以推廣到任意節集總RLGC模型。

　　同樣用集總RLGC模型來模擬傳輸線，模型的節數越多越能近似模擬理想傳輸線，所以可以取RLGC節數為無窮大。根據上面的結論，當n→∞，可以得到：

　  就是得到的實際狀況下的傳輸線阻抗計算公式[5]。當n→∞，可以得到一個簡明的無窮節集總RLGC電路模型，如圖所示。

　　通過上面的歸納證明，從傳輸線阻抗連續特性方面得到了傳輸線在理想狀況下和實際狀況下的阻抗計算公式，也是從另一個角度用理論的方法驗證阻抗計算公式的正確性。對深入了解阻抗計算公式提供了理論基礎。從上面的模型也可以看出，負載匹配是傳輸線阻抗連續的必要條件，如果負載不匹配，會導致傳輸線阻抗出現不連續。

　　參考文獻

　　[1] ERIC BOGATIN著，李玉山，李麗平譯.信號完整性分析[M].北京：電子工業出版社，2005.

　　[2] JOHNSON H， GRAHAM M. High speed digital design[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR， 1993.

　　[3] JOHNSON H. High speed signal propagation[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR，2003.

　　[4] 陳偉，黃秋元，周鵬.高速電路信號完整性分析與設計[M].北京：電子工業出版社，2009.

　　[5] 梁昌紅，王新穩，李延平，等.微波技術與天線[M].北京：電子工業出版社，2011.