0 引言

　　正交頻分多址（OFDMA)中繼通信系統覆蓋域大、可擴展性強，相比傳統的無線網絡可以有效提高系統容量，是LTE網絡的關鍵技術之一[1]。OFDMA 中繼系統能獲得更高的峰值數據速率、頻譜利用率、更好的小區邊緣用戶等性能, 是廣大研究人員關注的焦點[2]。其通信系統中的資源分配問題也逐漸成為當今的研究熱點。

　　根據中繼節點對接收信號處理方式的不同可以分為放大-轉發(Amplify and Forward，AF)和解碼-轉發(Decode and Forward，DF)方式。AF方式是中繼節點對接收到的信號進行模擬處理，將信號放大后轉發給目的節點，這樣就存在放大噪聲傳遞的缺點。而DF方式，是中繼將接收到的信號進行解調、解碼（如果編碼）和判決，然后再將信號重新編碼后轉發給接收端。

　　關于OFDMA資源分配問題的研究目前也備受關注。文獻[3]在DF中繼模型下，研究了滿足QoS下的中繼選擇、功率分配與子載波分配的聯合優化問題。文獻[4]是在單中繼系統模型下，討論了總功率約束下的用戶間的公平性，并考慮了每個用戶均有各自的速率需求。文獻[5]是滿足每個用戶的子載波最小需求數目下獲得的公平性的提高。文獻[6]是在限定的總功率、誤碼率和速率比例下引入了均衡因子，對系統容量和用戶公平性之間的均衡進行控制。

　　目前，現有的文獻中，在OFDMA中繼系統模型下考慮用戶公平性的情況，基本上是在給定的功率下，根據用戶的預定速率比調整子載波。未曾討論過提高公平性付出的代價導致了用戶的速率降低。文獻中也只是單純地從用戶角度考慮載波分配問題，未曾考慮過怎樣調整子載波使其速率損失降低最少，而后再去考慮功率優化分配的問題。在本文中，研究了子載波分配與功率分配聯合優化下用戶公平性的問題。且從不同角度考慮資源分配問題，并做了相互比較。算法一是使得用戶間的速率比盡可能達到預定速率比的同時，也要保證其速率損失盡可能最小。算法二、算法三則體現了從不同角度進行載波分配的情況。仿真結果表明，提出的三種算法中，公平性都得到了提高，但系統的平均吞吐量卻有所降低。且公平性達到越好，付出的速率損失代價就越大。

1 系統模型

　　本文為DF方式中繼模型下的OFDMA上行鏈路系統，其中包含兩個源節點S，兩個中繼節點R和一個目的節點D。這里要求每個用戶的信息均通過中繼轉發給目的，即不存在S到D的直接鏈路。傳輸分為兩個時隙：第一時隙S向R發送信息，R接收信息并進行解碼；第二時隙R將編碼后的信息轉發給D。

　　圖1中，S-R、R-D、S-D的子載波m的信道增益分別為

2 優化問題與分析

　　在DF中繼方式下，總功率分別為源端和中繼端的功率。

　　要使速率最大，則：

　　a為等效信道增益：

　　等效速率為：

　　本文考慮每個用戶、每個中繼均有各自的功率限制，且每個用戶均有最小速率要求,在這些約束條件下，最大化系統容量。目標函數如下：

　　其中式(7)、(8)是指對于一個子載波最多分配給一個用戶和一個中繼。式(9)、(10)分別為源端和中繼端各自的功率約束。式(11)為每個用戶的最小速率需求。

3 算法分析

　　3.1 算法一

　　算法一是通過對Lagrange對偶函數問題求解分析，根據所得代價函數H，再次調整子載波時將對于該用戶H值最小的子載波移給對方。這樣不僅考慮到用戶間的公平性，也保證了其速率損失盡可能最小。

　　式(6)的目標函數為凸函數，利用Lagrange對偶法[8]求解式(6)～(13)，問題轉化為：

　　優化問題轉化為：

　　根據文獻[4]，對于每一個子載波m，可以分解為M個次優問題，則：

　　根據Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件[8]，最后可以得到子載波m的最優功率：

　　帶入可得：

　　是K×N的矩陣，定義為代價函數，是子載波m分別對應用戶1、用戶2、中繼1、中繼2的能量功耗代價函數值，值越大，子載波m即分配給相應的用戶和中繼。

　　可以表示為：

　　方案1分配子載波的流程如下：

　　(1)按照式(25)將所有的子載波分配給對應的用戶和中繼。

　　(2)將用戶1、用戶2所分配到的子載波對應的代價函數值H存儲在S1、S2中，按照函數值從大到小的順序排列。

　　(3)先分別計算出用戶1、用戶2已分得的子載波個數N1、N2。再根據預定速率比與總共的子載波數目，算出兩個用戶預定子載波個數N1?鄢、N2?鄢。若此時N1>N1?鄢，則將用戶1中S1的后(N1-N1?鄢)個子載波分配給用戶2，這樣保證了用戶1移走子載波后，對其速率影響不會太大；反之同理。這樣，按照子載波個數比等于預定速率比，初步完成了兩個用戶子載波的分配。

　　(4)最后再次計算用戶1和用戶2的實際速率比Q，若Q>Q?鄢（或Q<Q?鄢），則再次調整子載波，直到Q接近于預定速率比。

　　3.2 算法二

　　算法二的子載波分配方案是從子載波端出發，按照3.1.1中介紹的，根據矩陣H中的取值，找出每個子載波對應的最優用戶與最優中繼。分配過程中若其中某一用戶分配完所需的子載波，即停止對他的分配，將剩余的子載波全部分配給另一用戶。最后根據實際的速率比，再次對兩個用戶的子載波做相應調整。此算法子載波分配的速度較快。

　　由于本文是速率最大化，即使兩個用戶按照預定比例速率分配子載波，但在利用注水算法分配功率時仍會按照用戶的最大功率限制分配完所有功率，即：即使一個用戶分配了少量的子載波，但每個子載波上的功率會很大（因為此時相當于水平面變高，衡量的標準不一）。這樣，比較兩個用戶的實際速率時，無法體現出公平性。

　　本文在分配功率時進行了改進。第一步，為兩個用戶分配預定的子載波，再進行功率分配。第二步，根據兩個用戶的實際速率，再次調整子載波。這里假設用戶1將自己的一個子載波移給用戶2。調整完子載波后，再進行功率的重新分配。這里重新分配功率時，用戶1仍按照原先數量的子載波分配功率，而再次獲得子載波的用戶2卻按照現有的子載波分配功率。但分配完功率后，在計算實際速率時，用戶1卻要去除分走的子載波及其上的功率，只計算調整后的子載波上的速率。用戶2則計算現有子載波速率即可。

　　3.3 算法三

　　算法三的子載波分配方法是從用戶端出發，定義兩用戶最簡速率比Q1?鄢：Q2?鄢=Q?鄢，那么每次給用戶1、用戶2分配子載波時就按照子載波個數比等于速率比依次分配（n1:n2=Q1:Q2），直到分配完所有的子載波。

　　算法三的功率分配方案與算法二相同。

4 仿真分析

　　本節給出了上述幾種算法的仿真結果與分析。信道衰落為獨立同分布且均值為1的瑞利衰落。子載波數目為50。用戶端與中繼端允許的最大功率為1。

　　圖2給出了用戶1與用戶2的速率比例曲線，兩個用戶的最小速率分別為0.4 bps/Hz、0.6 bps/Hz。仿真圖中，最下邊的曲線為預定比例速率曲線。可以看出沒有考慮公平性時，公平曲線偏離預定曲線最遠。其次,離預定公平曲線最近的是算法一得到的曲線，依次往上的兩條曲線分別是算法二和算法三的仿真曲線。可以看出，算法三得到的公平性效果最好，算法二次之，算法一有相應提高。

　　圖3中是對應的用戶平均吞吐量曲線。其中算法一、算法二、算法三是已調整速率后的平均吞吐量曲線。當然，從圖中可以看出，吞吐量達到最大的是不考慮公平性的算法，因為它只是根據信道增益的大小分配子載波。在本文提出的三種算法中，由于考慮了公平性需重新調整子載波，當然分配的功率也有所變化，這樣最后得到的吞吐量比不考慮公平性的要降低一些。其中，算法一雖然公平性提高的不多，但吞吐量高于其余兩種算法。算法二與算法三的吞吐量依次減少。可以看出公平性的提高是以速率損失為代價的。

　　圖4、圖5分別是兩個用戶最小速率為0.3 bps/Hz、0.7 bps/Hz時對應的公平性和速率圖。從圖4中可以看出，此時用戶1、用戶2預定速率比為3/7，比圖2中低（預定速率比為4/6）。其對應的三種算法得到的公平性曲線當然也比圖2中低。其中算法三得到的公平性更接近于預定比例速率（3/7）。但它們都無法達到預定比例速率。從圖5中可以看到，這時付出的速率損失比圖3中的更多一些，并且算法三得到的系統容量降低更多。

5 結束語

　　本文針對OFDMA多中繼多用戶系統下，研究了用戶公平性的問題，并提出了三種算法。最后進行了仿真分析與比較。仿真結果表明，用戶公平性的提高是以降低了系統吞吐量為代價的。提出的三種算法在某種程度上都提高了用戶的公平性，但公平性達到越好，速率損失也會相應的有所增加。因此，怎樣更好地權衡公平性與速率損失是下一階段研究的重要問題。

參考文獻

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