摘 要： 通過比較幾種圖像直方圖均衡化的應用范圍，提出一種基于模糊聚類分割的累計直方圖均衡化的方法。實驗結果表明：與傳統直方圖均衡化算法相比，使用該方法處理后的圖像不僅使灰度值分布更加均勻，增強了整體對比度，而且保留了原圖像更多的細節信息，很好地達到了圖像增強的目的。

　　關鍵詞： 模糊聚類分割；累計直方圖均衡化；圖像增強

0 引 言

　　在數字圖像處理中，如果圖像的灰度分別集中在較窄的區間，則會引起圖像細節的模糊。為了使圖像細節清晰，并使一些目標得到突出，達到增強圖像的目的，可通過改善各部分亮度的比例關系，通過直方圖的方法來實現[1]。直方圖均衡化又稱直方圖平坦化[2]，是將一已知灰度概率密度分布的圖像，經過某種變換，生成一幅具有均勻灰度概率密度分布的新圖像，其結果是擴展了像素取值的動態范圍，從而達到增強圖像整體對比度的效果。

　　設一幅圖像總像素數為n，分為L個灰度級，nk代表第k個灰度級rk出現的頻數，則第k個灰度級出現的概率為:

　　此時變換函數可表示為：

　　因此，根據原圖像的直方圖統計值就可算出均衡化后各像素的灰度值。按上式對遙感圖進行均衡化處理時，直方圖上灰度分布較密的部分被拉伸，灰度分布稀疏的部分被壓縮，從而使一幅圖像的對比度在總體上得到很大的增強[2]。

　　目前直方圖均衡化常用的方法有直方圖擴展(Histogram Expansion)、全局直方圖均衡(GHE)、累積分布函數變換法。研究和比較這些方法的優劣，為研究DSP的實現提供比較好的方法。

　　直方圖擴展法[3]使圖像得以簡化，并且對比度增強。但是，當圖像中的灰度值彼此離散時，這種方法就不再適用了。全局直方圖均衡（GHE）雖然對于灰度分布較集中的低動態范圍圖像的增強效果顯著，但對于高動態范圍圖像效果卻不明顯，有時還會造成小目標以及高頻細節信息的丟失。另外，當圖像的灰度分布過于集中時，容易造成水漬效應(washed-out effect)。累積分布函數變換法[4]可使圖像變得清晰，但是涉及到直方圖均衡化時會遇到圖像中像素個數較少的灰度級被過多合并的問題，結果導致處理后的圖像部分細節丟失而局部變得模糊，得不到滿意的增強效果。

　　本文通過比較各種方法的優缺點，提出了一種基于模糊聚類的累積直方圖均衡化的圖像處理方法，即利用模糊C-均值聚類算法對圖像進行分割,對分割圖像的邊緣增強，結合累積分布函數變換，對圖像進行直方圖均衡化，通過雙增強，得到圖像的高對比度。不同的直方圖均衡化所達到的對比度不同，突出圖像細節的明顯程度不同。本文提出的方法使各種灰度圖像（醫學圖像，指紋圖像，人臉圖像）有更好的對比度，更能突出圖像的細節。

1 一種基于模糊聚類劃分的累積直方圖均衡化

　　1.1 模糊C-均值聚類算法

　　模糊聚類算法[5]是一種基于函數最優方法的聚類算法，使用微積分計算技術求最優代價函數。分類數給定，尋找出對事物的最佳分析方案，此類方法基于目標函數聚類，稱為模糊C-均值聚類。

　　模糊 C-均值聚類算法(FCM) 是基于目標函數的模糊聚類算法中最為完善、應用最為廣泛的一種，是圖像分割中較為常用的一種算法。

　　FCM把n個向量xi（i=1,2,…,n）分為c個模糊組，并求每組的聚類中心，使得非相似性指標的價值函數達到最小。與引入模糊劃分相適應，隸屬矩陣U允許有取值在0、1間的元素。不過，加上歸一化規定，一個數據集的隸屬度的和總等于1：

　　所以FCM的價值函數（或目標函數）就是：

　　這里uij介于0、1間；cj為模糊組I的聚類中心， missing image file為第i個聚類中心與第j個數據點間的歐幾里德距離；missing image file且是一個加權指數。

　　構造如下新的目標函數，可求得使式（2）達到最小值的必要條件：

　　這里λj，j=1,...,n，是式（1）的n個約束式的拉格朗日乘子。對所有輸入參量求導，使式（2）達到最小的必要條件為式（4）和式（5）：

　　模糊C-均值聚類分割算法通過將圖像的特征數據分成c類來實現圖像的分割，通過式（4）和式（5）的迭代確定隸屬度和聚類中心，使式（2）所示目標函數取最小值。

　　經過聚類分割后得到的子塊不再是統一的矩形子塊，每一個子塊都是灰度相近的連通像素的組合，具有相對較窄的灰度分布范圍。因此，通過直方圖均衡處理后能夠得到更好的細節增強能力。

　　1.2 對二值圖像進行圖像邊緣提取

　　利用迭代算法得到了圖像的二值圖像后，可利用該二值圖像進行圖像邊緣提取[6,7]。通過邊緣提取后與原圖像合并，達到邊緣增強的效果。

　　從二值圖像中提取圖像的邊緣較為方便，對圖像中黑色或白色區域中每一個像素的四鄰域進行判斷即可判斷該像素是區域內點還是邊緣點。通過邊緣檢測，文中算法在局部對比度增強和噪聲控制方面都取得了較好的效果。

　　1.3 基于模糊聚類分割的累積直方圖均衡化算法

　　累積分布函數變換法[8]通過統計圖像各灰度級像素數量來求得圖像直方圖信息，并以累積分布函數變換法為基礎進行灰度映射，從而很好地增強了圖像的整體對比度，達到了使圖像更加清晰的目的。

　　在本文中，選擇累積直方圖均衡化是因為此方法應用在DSP的實現中具有良好的性能,利用C語言也能很容易實現，為編程者提供了方便。

　　對圖像進行分割之后,對每個子塊進行直方圖均衡處理，這需要計算累積分布函數,函數定義為：

　　其中x是一個灰度值，h是圖像的直方圖。

　　直方圖均衡化的一般方程式是：

　　cdfmin是累積分布函數的最小值，M、N是圖像的列數和行數，L是灰度級數（在大多數情況下為256）。

2 實驗結果及分析

　　本方法的實現和測試使用的是MATLAB 7.X版本。

　　本文實驗的原始圖像及其直方圖如圖1所示。

　　從圖1可以看出，原圖的直方圖多密集在一起，這說明圖像絕大多數像素點的灰度值比較集中，使得圖像信息不夠豐富，圖像結構不夠清晰。下面利用模糊C-均值聚類算法對圖像進行分割處理，結果如圖2所示。

　　直方圖均衡化算法對于子塊的大小比較敏感，當子塊較小時，圖像的局部對比度較高，同時噪聲放大現象也較明顯；而子塊較大時，又會造成細節丟失。本文取Block size=12來對圖像進行直方圖均衡化。

　　利用迭代算法得到圖3所示為邊緣提取后的圖像。圖像的二值圖像后， 可利用該二值圖像進行圖像邊緣的提取。

　　圖4即為分割塊數為12的分割圖像經邊緣檢測后與原圖像合并后的圖像。

　　對于分割后的圖像利用累積直方圖均衡化方法對圖像進行均衡化后的結果如圖5所示，其直方圖如圖6所示。

　　圖7為利用參考文獻[8]的方法均衡化后的圖像。通過計算圖5和圖7的信息熵，可得圖5的信息熵H1=7.953 8，圖7的信息熵為H2=7.320 1，利用本文方法均衡化后的熵值明顯變大，灰度值分布更加均勻，同時圖像也更加清晰，包含更多的有用信息。通過對比圖5和圖7的信息熵可以得出，利用本文方法不僅很好地擴展了像素取值的動態范圍，而且使原來圖像中較暗區域中的一些細節更清晰，從而達到了增強圖像整體對比度的效果。

3 結論

　　直方圖均衡化技術更適用于黑白色度的圖像,如數字x射線圖像、指紋圖像、人臉圖像的增強，便于圖像識別。所有這些圖片要求很高的清晰度和顏色的對比度。對于由于曝光不均等原因導致的不同位置灰度差異過大的圖片，常采用局部閾值分割進行處理。采用局部閾值分割時，分割的結果受圖片分塊大小的影響。分塊時，圖片的分塊不宜過小，否則每個區塊內部的像素過少，統計規律不明顯，分割效果不好，且會對背景中的噪聲敏感。

參考文獻

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　　[2] 王澤發,唐興國. 基于灰度變換的圖像增強方法研究[J]. 科技創新導報，2011(1):8-13.

　　[3] Stark J A. Adaptive image contrast enhancement using generalizations of histogram equalization[J]. IEEE Trans actions on Image Processing, 2000，9（5）:170-178.

　　[4] 楊秋霞,曹宗杰. 直方圖均衡處理方法的研究[J]. 科技廣場，2011(7):11-14.

　　[5] Likas A, Vlassis N, Verbeek J J. The global k-means clustering algorithm[J]. Pattern Recognition, 2002 (2):94-101.

　　[6] 陳冬嵐,劉京南,余玲玲.幾種圖像分割閾值選取方法的比較與研究[J].機械制造與自動化,2003(1):77-80.

　　[7] 尹平,王潤生. 基于邊緣信息的分開合并圖象分割方法[J]. 中國圖象圖形學報， 1998(6):1-7.

　　[8] 呂宗偉,唐治德,周林,等.利用累積分布函數的亮度保持均衡算法[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2011(9):1-8.