摘 要： 為了提高刀具預調測量儀的檢測精度，提出了一種改進的圖像快速亞像素邊緣檢測算法——基于正交多項式擬合的亞像素邊緣檢測算法。首先，利用傳統的Sobel算子完成邊緣點整像素級別的檢測，確定邊緣的主體區域；然后，過邊緣點沿邊緣法線方向拓展像素，取一系列像素點并計算其灰度值；最后根據像素點灰度分布的數學特征，利用正交多項式和最小二乘法求擬合函數，通過擬合曲線確定圖像邊緣點的精確位置，實現圖像亞像素邊緣檢測。實驗證明，該算法運行時間短，約為0.63 s；檢測精度高，可達0.1 pixels。
關鍵詞： 邊緣檢測； 亞像素； Sobel；正交多項式； 曲線擬合
0 引言
在機械加工時，刀具的幾何參數對數控機床的生產效率和加工質量有著重大影響，因此，刀具必須在使用前明確其精確參數。目前，國內常用的刀具測量方法，如機械式測量法、光學投影法等已無法滿足現代工業生產的要求，以圖像處理為核心的圖像測量技術具有高精度、高效率、非接觸和自動化程度高等優點，能實現對刀具參數的精確檢測。圖像測量技術的實質是提取刀具精確的輪廓邊緣，邊緣檢測是圖像處理的基礎和關鍵。傳統的邊緣檢測算法，如Sobel算子、Canny算子、LOG算子等雖然其形式簡單，易實現，速度快，但檢測精度不理想，僅能達到整像素級別，且對噪聲特別敏感，常產生偽邊緣。欲提高檢測系統的精度，通過優化算法的軟處理比提高系統硬件分辨率的硬處理更加實用、有效[1]。
提出一種改進的圖像亞像素邊緣檢測算法，利用傳統的Sobel算子和五次正交多項式最小二乘擬合原理實現邊緣精定位。
1亞像素邊緣檢測算法理論
1.1邊緣主體區域粗定位
Sobel算子既能確定邊緣點的位置和方向，還能根據像素點上下、左右鄰點的灰度加權差，對噪聲具有平滑作用，能提供較好的圖像邊緣信息，所以在邊緣主體區域粗定位時選用Sobel算子。Sobel算子是一種梯度幅值，其表現形式為：
其中，M（x，y）是像素點灰度值，Sx、Sy分別是邊緣點橫向、縱向的檢測灰度值。當M（x，y）大于給定的閾值時，可確定點（x，y）為邊緣點，并根據Sx、Sy判斷梯度方向，
=arctan（Sy/Sx）。從圖1可以看出，Sobel算子對邊緣主體區域粗定位有很好的效果[2]。
1.2 邊緣亞像素精定位
CCD是光強積分器件，在CCD采樣過程中，物空間突變的灰度在光學成像后會成為漸變的形式。如圖2（a）所示，圖像兩側分別表示背景和物體各自內部的灰度變化情況，兩者之間表示圖像邊緣附近的灰度變化情況；如圖2（b）所示，沿邊緣法線方向，物體與背景內部區域的灰度差分值微小，而邊緣附近的灰度差分最大，這就是經典邊緣提取的理論。
以上述理論為基礎，對過粗定位所得邊緣點，沿邊緣法線方向拓展像素，得到一系列過邊緣線的像素點，求得這些點對應的灰度值，然后根據這些點灰度分布的數學特征，利用五次正交多項式最小二乘法擬合原理求得擬合函數與曲線，再根據擬合曲線確定圖像邊緣亞像素點的位置，從而實現邊緣點的亞像素精確定位，這就是本文改進的亞像素邊緣檢測算法的原理。
1.2.1 正交多項式擬合函數
在實際應用中，要在保證檢測精度的前提下盡可能地縮短運算時間，從而提高運算效率，因此選擇適當數量的邊緣點是十分重要的。選點過多會增加運算時間，降低效率；選點過少會降低檢測精度，定位不準。綜合以上因素，本課題選取5個像素點，橫坐標x代表像素值，其取值分別設為-2、-1、0、1、2，其縱坐標y代表各點對應的灰度值。根據施密特正交化公式[3]可得正交基函數，如式1所示。
為了能取得較理想的擬合效果，選取[G0（x），G1（x），G2（x），G3（x），G4（x），G5（x）]為基底進行擬合，擬合函數方程為：
F5（x）=a0·G0（x）+a1·G1（x）+a2·G2（x）+a3·G3（x）+a4·G4（x）+a5·G5（x）（2）
其中，a0、a1、a2、a3、a4、a5是五次正交多項式函數的未知系數[4]。
假設任一坐標點（xi，yi）的橫、縱坐標隨機誤差分別為pi、qi，則實測點坐標到擬合曲線的距離殘差為：
全部點到曲線的距離殘差平方和為：
求取式（4）最小值min（S）時，根據正交多項式最小二乘法擬合原理推導得系數為：
直接使用式（5）求多項式系數計算量大，較困難，且不能直觀體現各變量之間的內在規律與聯系，因此對公式進行變換轉化為如下更直觀的矩陣表達式：
由式（6）可求得多項式系數值：
將式（7）代入式（2）得擬合函數F5（x）：
1.2.2 計算圖像邊緣位置
根據亞像素邊緣檢測原理可知，擬合函數表達式F5（x）是以點的灰度值為基本元素求得的。從數學意義上來講，F5（x）描述了圖像邊緣線的情況，而函數一階微分
則描述了邊緣線變化程度的情況，即點的灰度值變化率的情況。那么，函數二階微分
則描述了點的灰度值變化率的變化情況。
由以上分析可知，亞像素點的位置就是點的灰度值變化率變化最大的位置，依據極值求解條件，將函數F5（x）對x求二階微分并令其等于零，即
求得x的數值即是亞像素點的位置。
2 亞像素邊緣檢測算法的實驗
利用Visual C++6.0語言在MATLAB V201b2軟件平臺編寫Sobel算子和本文改進的算法程序實現對圖像的數字處理。
實驗1 算法抗噪性能研究
圖像信噪比等于信號與噪聲的功率譜之比。由此可知，邊緣點的檢測精度與噪聲成負相關關系。分別用兩種算法處理圖像，效果如圖3所示?？梢钥闯?，本文算法與Sobel算子相比同樣具有完整且較細的邊緣，但前者生成的噪點明顯更少，因而具有更好的抗噪聲性能。
實驗2 算法檢測精度研究[5]
制作了尺寸為100×100的二值化圖像，如圖4所示。白色矩形所在區域的灰度值為0，其余背景灰度值為255，底邊在圖像第20行、第20~80列位置上。首先提取了部分邊緣點理論坐標值，再使用改進的算法處理圖像并提取了相應邊緣點的亞像素坐標檢測值，如表1所示。通過分析與計算可知改進算法的檢測精度。
以單個像素點坐標理論值與檢測值的坐標差值作為算法偏差，經計算可得其標準偏差約為0.1 pixels。
實驗3 算法時間研究
取尺寸為1 600×1 455的同一圖像在同一實驗平臺進行多次測試，得到多組運行時間，如表2所示。為了提高數據的可靠性，首先從數據中去掉一個最小值和一個最大值，再求取其他組的平均值作為運行時間。經計算，Sobel處理時間約為0.34 s，本文算法的處理時間約為0.63 s。
3 結束語
從理論分析與仿真實驗可以看出，本文改進的亞像素邊緣檢測算法具有抗噪性能強、檢測精度高、運行速度快的優點，主要適用于對處理速度和檢測精度要求較高的機器視覺檢測系統，而且已試用于數控機床刀具預調測量儀，極大地提高了數控機床的效能，運行穩定、可靠。
參考文獻
[1] 李東光，景芳盛，張國雄.計算機視覺二維刀具預調測量儀的研究[J].制造技術與機床，2001（5）：20-22.
[2] 劉力雙，張銚，盧慧卿，等.圖像的快速亞像素邊緣檢測算法[J].光電子·激光，2005，16（8）：993-996.
[3] 王新民，術洪亮.工程數學計算方法[M].北京：高等教育出版社，2005.
[4] 徐中宇，寧闖，周亞洲.一種快速亞像素邊緣檢測算法[J].吉林大學學報（理學版），2014，52（2）：308-313.
[5] PERKINS W A. INSPECTOR： a computer vision system which Learn to inspect parts[C]. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence，PAMI-5，1983：584-592.