0 引言

    由于成像環境不理想以及成像設備硬件分辨率有限等多種因素會導致圖像出現模糊、噪聲等問題，導致獲取不到超分辨率圖像^[1]。故學者們提出了多幀超分辨率圖像重構方法，利用低分辨率圖像序列間某種類別的附加信息進行互補重構，獲取無法辨識的細節信息從而轉換成高分辨率圖像^[2-3]。

    基于學習以及基于插值技術的重構方法為目前較常用的超分辨率圖像重構方法。如Ahmadreza^[4]等人利用各向同性高斯濾波器，對輸入圖像像素的結構張量進行計算，再利用結構張量插值法實現重構，實驗表明該方法能獲得質量較高的重構圖像。賈茜^[5]等人通過輪廓模板插值算法對低分辨率圖像進行放大，然后將所得圖像用MCA模型分解，最后將處理后的圖像進行合成，從而完成超分辨率圖像重構。實驗結果表明該方法有效提高了圖像銳度，重構效果佳。雖然基于插值法的重構算法實現快速易行，對超分辨率圖像重構也有一定的效果，但由于插值過程所固有的平滑效應，導致得到的重構圖像存在棋盤和振鈴效應。

    對此，樊博^[6]等人利用兩步迭代算法和全變分正則化實現超分辨率圖像重構，利用兩步迭代收縮得到新的估值，最后利用全變分實現重構，實驗表明該算法能夠較好地實現圖像的重構。首照宇^[7]提出了一種改進的基于字典的重構算法，通過引入聯合訓練思想確保高、低分辨率圖像具有相同的表示系數，利用迭代反投影增強重建約束實現重構，實驗結果顯示該方法具有較好的重構效果。

    然而，此類算法都是基于學習的超分辨率方法，在重構效果上較插值法都有所提高，但是由于計算的復雜性導致該類方法實現復雜，效率較低。

    對此，本文提出了增益映射控制耦合局部正則化的圖像重構算法。首先，通過對低分辨率圖像中亞像素的移動進行分析；然后，構造正則化算子，聯合改進的代數重建法求其穩定值；最后，采用基于局部自適應正則化的增益可控方法，建立增益映射，完成超分辨率圖像重構，并測試本文算法的重構性能。

1 圖像成像模型

    由于拍攝時相機的移動等原因會導致亞像素平移的產生，從而使圖像變得不清晰^[8-9]。圖1中表示了低分辨率圖像[β_x，β_y]中覆蓋3個亞像素沿水平和垂直方向平移的示意圖。

2 超分辨率圖像的估值

    因為方程式組式(10)存在病態特性，所以式(10)是不穩定的，下面將對方程式組式(10)進行求解。

3 迭代算法與正則化

    代數重建法(ART)屬于級數展開法的一種并得到了廣泛應用^[10]。ART利用L₂范制定了相異度，并且對迭代后得到的每一個元素都進行了更新。由于在進行誤差估值時L₁范比L₂范有更好的效果，在此將ART中的相異度改進為用L₁范來制定，那么中第j個元素的第(n+1)次迭代的表達式如下：

其中j=0，1，2…N-1，k=0，1，2，…K-1，A_k，j是A_k中的第j列元素。迭代參數β⁽ⁿ⁾表示第n次迭代的步長。其中迭代次數n與低分辨率圖像指數k有關，其關系為n=k/K。

    正則化被廣泛用在求解不穩定線性方程組上，當獲得數據的保真度很低時，正則化過程很重要^[11-13]。由于式(10)的不穩定性導致高清圖像X的重構存在不穩定性，所以本文將用正則化耦合L₁范的ART來得到改進的ART，從而求解式(10)的穩定解。

    一個獲得圖像重構穩定解的方法是保持圖像空間灰度的同質性^[14-15]。為了獲取該穩定解，本文構造一個正則化算子φ(X)，根據高清圖像解法的先驗知識，可將正則化算子φ(X)與式(8)結合，可得到廣義的最小代價函數：

    由圖2可見，通過正則化耦合的ART算法迭代后所得圖像雖然有一定的重構效果，但是還存在明顯的振鈴以及模糊效應。下面將采用局部自適應正則化的增益可控方法，建立增益映射，完成超分辨率圖像重構。

4 局部自適應正則化及增益映射的建立

    由于邊緣高對比度及振鈴大小與圖像梯度大小成正比，故本文采用自適應技術，使得被估計的高清圖像中，每個像素值的正則項和誤差項的關系由該像素值的局部信息來控制，從而克服振鈴效應和模糊效應。本文采用基于局部自適應正則化的增益可控方法，建立增益映射，完成超分辨率圖像重構。

    膨脹-腐蝕現象影響了原始圖像的邊緣強度，其中圖像的膨脹會帶來白噪聲的影響，圖像的腐蝕會帶來暗噪聲的影響。然而形態學開運算和閉運算，能夠在不影響圖像邊緣銳度的情況下分別移除白噪聲和暗噪聲^[16-17]。故在此將構造基于增益映射I_g的多尺度形態學。假設Q表示一個圓盤結構元素單元，則rQ定義如下：

其中Z_max和Z_min為Z的最大和最小值，Sigmoid為一個邏輯函數，定義如下：

    (4)通過對Z的像素字典進行排序，獲取對角元素，從而形成增益映射I_g。

    結構元素大小的最大值m由估值圖像的對比度決定，隨著迭代的進行，m將逐漸減少。

    圖3展示了本文算法的重構效果對比圖，在此m的取值為4，圖3(a)為本文算法迭代1次后所得圖像，(b)為本文算法迭代10次后所得圖像。

5 仿真結果與分析

    采用經過模糊后的圖像作為低分辨率圖像，模糊算子H采用5×5的加權系數，再將下采樣因子D為5的噪聲加入目標圖像，最后所得被損壞圖像為彩色圖像和灰度圖像作為測試圖像，見圖4（a）、圖5（a）。通過借助MATLAB 7.10軟件來測試本文超分辨率圖像重構機制，為了體現本文機制有效性與優異性，將文獻[18]和文獻[19]的重構方法作對照。

5.1 不同機制對彩色圖像重構的質量對比分析

    圖4為不同圖像重構機制對圖4（a）重構后的效果圖?？梢娫趯Φ头直媛什噬珗D像重構時，本文機制的重構質量最佳，見圖4（d）；而對照組的兩種圖像重構算法重構的圖像顯然存在振鈴和模糊效應，見圖4（b）和圖4（c）。原因是本文重構機制采用自適應技術，使得被估計的高清圖像中，每個像素值的正則項和誤差項的關系由該像素值的局部信息來控制，從而克服振鈴效應和模糊效應。

5.2 不同機制對灰色圖像重構的質量對比

    從視覺效果圖對比可見，在對低分辨率灰色圖像重構時，本文機制的重構質量最佳，見圖5（d），圖像清晰度較好；而對照組的兩種圖像重構算法的復原圖像質量不佳，分別見圖5（b）與圖5（c），較為模糊，喪失了部分紋理信息。

5.3 量化分析

    將不同程度的噪聲加入到圖4的低分率圖像中，然后用不同重構算法來處理這些圖像，最后通過得到的PSNR來對不同機制的重構效果進行量化分析，PSNR量化圖如圖6所示。從圖中可見，本文重構機制優于對照組的機制，原因是本文采用了基于增益映射I_g的多尺度形態學，能夠在不影響圖像邊緣銳度的情況下分別移除白噪聲和暗噪聲，從而保持了邊緣銳度提高了PSNR，保持了圖像的結構相似度。

6 結論

    本文提出了基于局部自適應正則化的圖像重構算法。通過對低分辨率圖像中亞像素的移動進行分析，確定高低分辨率圖像間的形成模型, 將重構問題轉化為一個不穩定的線性方程式組；然后構造正則化算子，聯合改進的代數重建法求其穩定值；最后采用基于局部自適應正則化的增益可控方法，完成超分辨率圖像重構。仿真結果表明，本文機制擁有更好的重構效果，有效降低了模糊與振鈴效應。

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