0 引言

    單載波頻域均衡(SC-FDE)技術^[1]，由于其在對抗多徑引起的時間彌散效應中的優異性能，近些年引起了研究者的廣泛關注。相對于正交頻分復用(OFDM)，SC-FDE擁有更低的均峰比，使得其成為了LTE中的上行鏈路技術。

    置信傳播算法(BP)，也稱和積算法^[2]，是一種廣泛應用于迭代接收機的消息傳遞方法。由于其在離散信號處理下的優異性能，使得BP算法在無線接收機設計中得到廣泛應用。但是BP算法在連續和離散共存的場景中會導致極高復雜度，所以出現了幾種近似消息傳遞方法^[3-5]，在有些場景下替代BP算法。有常見的兩種理論化的 (Theorized)消息傳遞方法：平均場(MF)算法^[3]、期望傳播(EP)算法^[4]。其中，平均場(MF)算法適合用于因子節點為指數類分布的場景，特別適用于高斯函數或者伽馬函數的情形，但是由于其更新規則的特點，在遇到“乘積-求和”(summation-multiplication)模型時，會產生方差丟失問題，導致性能嚴重下降^[6]。期望傳播(EP)算法^[4]可以看作是BP方法的一種近似，方便解決BP算法在連續-離散共存情況下的復雜度過高問題。但是由于MF、EP都是BP算法在放寬約束條件下的近似，所以相比BP算法均會使得性能下降。所以近年來聯合BP-MF^[5]、聯合BP-EP等方法出現解決了性能和復雜度的矛盾。

    文獻[7]中提出了一種低復雜度稀疏信道估計SC-FDE接收機，其利用導頻估計稀疏信道，并用于數據檢測。由于其僅利用導頻估計信道，并不能完全利用數據傳輸中隱含的信道信息，從而此接收機屬于分立接收機。文獻[8]中提出一種基于消息傳遞算法的聯合OFDM接收機，在信道估計中采用MF方法。為了避免MF方法出現的方差丟失，其采用了向量形式，將標量形式方差計算轉換為協方差矩陣運算，使得性能得到提升。但是由于存在矩陣求逆，其復雜度也大幅提升。文獻[9]中提出了廣義平均場(GMF)方法，假設信道之間相對獨立，將信道分成相互獨立的分組，從而在損失性能的代價下降低復雜度。

    本文結合文獻[7-9]的方法，將原本存在“乘積-求和”結構的觀測節點進行因子圖拉伸，將此結構脫離觀測節點。經過拉伸以后，觀測節點僅存在“乘積”結構，從而采用MF方法時避免了方差丟失問題，同時可以方便估計噪聲方差。而“求和”結構由另外一個節點采用BP方法處理，避免了方差丟失和其他近似方法所產生的性能下降。

1 系統模型

    針對一個SC-FDE傳輸系統^[1]，信息序列b經信道編碼和交織后得到編碼矢量c，再經QAM調制后得到發送數據x，在加入循環前綴(CP)后進行信道傳輸。在接收端，移除CP后進行離散傅里葉變換，得到：

1.1 現有因式分解以及因子圖表示

    上述傳輸模型，若按照文獻[7-9]的方式因式分解，中間變量z和h并未體現，因式分解如下：

其中f_M(x，c，b)表示軟輸入軟輸出(SISO)函數，在文獻[6]中有詳細描述，本文不推導其內部消息更新。上述因式分解可畫出因子圖，如圖1所示。

1.2 因子圖拉伸方法

    為了避免上節中出現的復雜度與性能的矛盾，本節將系統中未知變量、觀測變量和輔助變量的聯合全局概率分布因式分解為：

    經過因子圖拉伸，由于觀測節點僅存在“求和”，則采用MF方法即可估計噪聲精度又不存在方差丟失問題，而“求和”結構由節點表示，通過BP方法處理，保證了算法的高精度。由于避免了矩陣求逆，采用本方法后，復雜度相比向量形式的MF方法會顯著下降。由于本文的因子圖將中間變量z、h均通過因子圖表達出來，則相比文獻[7-9]本文因子圖可看作是經過了“拉伸(stretched)”變換，所以本文所提方法稱為拉伸因子圖方法。

2 接收機設計

    基于聯合BP-MF算法，本節討論在因子圖2中的消息計算。觀察因子圖可知，圖中存在兩個晶格(Lattice)狀網絡(f_z～x和f_h～a)，兩個網絡中消息更新公式類似，簡潔起見本文僅詳細描述頻域均衡部分晶格的更新公式。

2.1 頻域均衡及檢測消息計算

    為了表述方便，本節將頻域均衡及檢測部分的消息計算分為左向消息和右向消息。

2.1.1 左向消息(f_D→f_z→f_M)

2.1.2 右向消息(f_M→f_z→f_D)

    將上節得到的消息傳至SISO函數f_M(x，c，b)，利用BP準則進行解調解碼，得到數據符號和返回的離散消息：

2.2 信道估計

    此MF消息送往信道估計部分后，利用BP更新規則更新晶格網絡中的消息。同樣存在晶格網絡，信道估計和頻域均衡部分的因子圖類似，唯一的不同在于不存在SISO函數。由于和均衡部分的更新公式接近，此處不做深入探討。利用BP方法，可以得到：

    需要說明的是，本文采用的信道估計方法也可以擴展到稀疏信道場景，采用稀疏貝葉斯學習的方法^[7-9]。只需要假設抽頭先驗未知，采用分層模型(2Layer或3Layer)，具體模型和因子圖可參考文獻[10]。

2.3 噪聲精度估計

2.4 消息調度

    在信道未知情況下，若進行聯合信道估計(頻域數據符號z_i參與信道估計過程)，由于數據符號不準確，會導致估計準確性變差。所以本文采用的消息調度規則設定為：首先純粹利用導頻進行迭代信道估計(定義為初始化迭代)，迭代次數設定為T_init；經過初始化迭代，信道參數得到初步估計，從而可以進行頻域均衡和檢測；之后利用檢測得到的結果再參與噪聲方差估計和信道估計，從而完成全局迭代(次數設置為T_Glob)。將本節所述消息更新和調度歸納為如下算法：

3 仿真及復雜度分析

    通過蒙特卡洛仿真驗證本文提出的聯合信道估計迭代接收機性能，并與已知文獻中算法進行對比，仿真系統參數參見表1。

    本文所提基于拉伸因子圖和聯合BP-MF方法標記為“BP-MF”，文獻[9]中提出的分塊MF方法統稱為“MF”，并根據其分塊大小分別記為“MF-512”、“MF-128”、“MF-32”和“MF-8”。文獻[7]中采用的非聯合方法，記為“DisJoint”。作為參考標準，本文也將已知信道情景進行了仿真，記為“GvChnl”。

3.1 仿真結果

    圖3對比了本文以及文獻中的已知方法隨信噪比變換曲線(迭代次數固定為20)。從圖3可看出，本文提出的BP-MF方法比MF方法在分塊大小為512情況下性能有所提升。而MF方法隨著分塊的增加，性能逐步遞減。非聯合式接收機，由于僅利用導頻進行信道估計，所以相比聯合接收機其性能有很大劣勢。

    圖4展示了各種方法在不同信噪比下的信道估計性能?？梢悦黠@看出，相比非聯合接收機，由于數據符號所攜帶的信道信息得到了利用，其信道估計性能有非常明顯提升。本文所提算法相對于MF-512，有一定程度的性能優勢。

3.2 復雜度分析

    分塊MF方法，其復雜度隨分塊的變小而減小。假定分塊大小為G，則其復雜度正比于O(L(M/G)²)。本文提出的BP-MF方法，計算消息個數正比于O(ML)，每條消息計算均僅需要基本的數學運算，所以BP-MF方法的復雜度正比于O(ML)。在本文仿真場景下，BP-MF方法和MF-32復雜度近似。

4 結論

    基于因子圖拉伸和消息傳遞算法，本文提出一種低復雜度聯合信道估計SC-FDE接收機。通過對現有方法的因子圖進行拉伸變換，可以將圖中因子節點按功能進行分割，進而采用更為靈活的消息傳遞算法。從而在選擇消息傳遞規則時可以參考各種規則自身的優缺點，最大化地利用其優勢，避免其缺陷。仿真結果表明，相比已有聯合接收機算法，本文提出的基于因子圖拉伸和聯合BP-MF算法在提升性能的情況下能夠顯著降低復雜度。

參考文獻

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[10] ZHANG C，YUAN Z，WANG Z，et al.Low complexity sparse Bayesian learning using combined BP and MF with a stretched factor graph[J].Signal Processing，2017，131(1)：344-349.

作者信息：

袁正道1，2，王忠勇3，張傳宗3，吳  勝4

（1.解放軍信息工程大學 信息系統工程學院，河南 鄭州450001；2.河南廣播電視大學 信息工程學院，河南 鄭州450008；

3.鄭州大學 信息工程學院，河南 鄭州450001；4.清華大學 宇航研究中心，北京100084)