0 引言

    傳統A/D采用香農-奈奎斯特采樣理論，采樣速率至少等于信號帶寬的兩倍才能無失真地恢復。香農-奈奎斯特采樣理論是可以重構信號的充分條件，而不是必要條件。理論上存在另外一種低于奈奎斯特速率的采樣方法，通過這種方法也可以重構恢復原信號。壓縮感知(Compressed Sensing，CS)^[1-2]就是這樣一種革命性的采樣轉換技術，如果信號可以稀疏表示^[3-4]，壓縮感知能夠從少于香農-奈奎斯特采樣的樣值中恢復信號。無線通信中的信號大多可以稀疏表示，例如超寬帶信號在時域中可以稀疏表示^[5-6]，跳頻信號在頻域可以稀疏表示^[7]。

    壓縮感知用于重構可稀疏表示的信號，使其不失真地以奈奎斯特速率表示。一些應用有時候只關心傳輸信號中的信息，而不需要重構原信號。壓縮信號處理是一種直接處理壓縮后信號的方法，它只是關心信號中的有用信息而不是重構^[8]。區別于壓縮信號的恢復，本文對信號傳輸信道的估計和信號的檢測更感興趣，文中主要解決二進制偏移載波調制信號檢測問題。壓縮感知已經應用到擴頻系統中偽隨機序列的捕獲^[9-10]，相關峰值在碼相位和頻偏組成的二維空間中是稀疏的。CS可以用于降低GPS接收機的采樣頻率^[11]，但是其硬件實現較為復雜。文獻[12]指出的擴頻接收機利用壓縮感知簡化接收機設計，該文中對幾種接收機進行了對比，并分析了量化的影響。應用壓縮信號處理對直接序列擴頻信號欠采樣解調^[13]，可以降低功耗和接收機的制造成本，而且采用匹配濾波器比隨機解調器更為簡單。文獻[14]在頻率選擇信道上，構建直接序列擴頻通信系統的信道估計和符號檢測模型，并分析了基于不同算法下的誤碼率性能，表明采用CS輔助的SLSS-JCESD接收算法降低一半采樣速率，會損失1.2 dB的SNR。

    現代GPS、Galileo、北斗等導航衛星系統中，都啟用了二進制偏移載波(Binary Offset Carrier，BOC)調制技術。與傳統的BPSK相比，BOC調制在載波調制之前增加了一個副載波調制環節。副載波是基于正弦相位或者余弦相位的方波，這兩種分別記為BOC_sin(Kn，n)和BOC_cos(Kn，n)，其中K表示副載波頻率與偽碼速率的比值，n表示偽碼速率與f₀=1.023 MHz的比值。與BPSK信號頻譜分布在載波處不同，BOC信號的頻譜主瓣分布在載頻±Knf₀處，這使得BOC信號具有更寬的頻譜，其帶寬通常記為副載波頻率與偽碼碼率之和的兩倍。針對BOC調制信號的特征，本文中提出一種基于壓縮感知的BOC信號接收機和發射機模型，并且采用壓縮信號處理的方式對接收到的BOC信號解調。收發機模型中匹配濾波器的使用，降低了擴頻通信系統的實現復雜度。并且通過大量的仿真實驗，對壓縮接收機和傳統接收的誤碼性能進行分析對比。

1 信號模型

    一個通用測量系統可以通過式(1)進行描述：

其中，x是N×1維被測量向量，Φ表示M×N維的測量矩陣，M×1維向量y是測量值。測量矩陣中每個行向量對x的觀測值，組成測量值向量y中的元素。測量可以簡單地描述為通過測量值y和測量矩陣Φ，求得未知值x。

    目前，傳統采樣技術基于香農-奈奎斯特采樣理論。對于香農-奈奎斯特測量系統，式(1)中，M=N，并且?椎是N×N維的單位矩陣。香農-奈奎斯特采樣理論揭示了這種測量系統可以無失真恢復被測量值的條件。

    式(1)中當M>N時，即得到的測量值數量多于未知被測量個數，與M=N類似，可以唯一地求解出被測量值。

    下面考慮式(1)中M<N的情況。如果不增加任何條件，方程有無數多個解，不能唯一地確定被測量值。但是，如果被測量信號x是稀疏的，則可以通過算法重構被測量信號，即壓縮感知。

1.1 發射機模型

    帶通信號可以用其低通等效進行表示，即可以用處理低通等效信號代替處理帶通信號，這樣就減少了對信號進行分析和仿真的復雜度。BOC基帶信號的生成可以分離為兩部分：基于BPSK基帶信號的擴頻調制、基于余弦或正弦相位的方波副載波調制，如圖1所示。

    在發射機和接收機中，假設一次處理一個符號，該符號中包含一個或多個信息比特，即向量b∈{±1}^L×1是傳輸的一個符號，每個符號由L比特數據組成。定義偽隨機序列向量為c∈{±1}^C×1，其中包含C個碼片。上述兩個向量是圖1中b(t)和c(t)離散表達。如果定義T_b和T_c分別表示數據信息周期和碼寬，則有LT_b=CT_c，即一個符號周期中含有整數個偽碼周期。BOC_sin(Kn，n)基帶信號中的一個符號可以通過式(2)表示：

其中，Ψ是由偽隨機序列組成的字典，它的每一列都是一個可能傳輸的擴頻調制信號；a∈{0，1}^M×1是稀疏向量，僅有一個值不等于零，用于選擇從字典中選擇要發送的偽隨機序列。向量a的稀疏度決定了可以采用壓縮感知的方法對BOC信號進行解調。

1.2 BOC壓縮信號處理接收機原理

    信號在傳輸的過程中會受到噪聲的干擾，接收機接收到的信號通?？梢悦枋鰹?

其中，n(t)是加性高斯白噪聲。接收信號的匹配濾波接收機結構如圖2所示^[17]，接收信號先進行匹配濾波，然后以偽碼速率進行采樣，最后進行解擴。

    假設信號在接收機端已經完全同步，接收信號中一個符號的接收采樣過程可以通過式(6)表示：

    基于硬件壓縮采樣結構的隨機解調器中，接收信號首先需要與偽隨機序列相乘，然后通過低通濾波^[4]。BOC信號在發射端已經通過偽隨機序列進行頻譜擴展，因而在接收端偽隨機碼產生器可以省略。BOC信號的調制過程中，使用副載波波形作為脈沖成型波形，因此采樣之前的匹配濾波器需要做相應的修改?；谟布嚎s采樣的BOC信號接收欠采樣過程為：

其中，θ_i(t)=sc(t-iT_c)，0≤t<CT_c，是匹配濾波器。κ=I/L∈(0，1]是壓縮感知結構中的欠采樣因子，當κ=1時沒有進行壓縮，κ越小得到的采樣值數量相對于奈奎斯特采樣值的個數越少。Θ=[θ₀(t)  θ₁(t)  …  θ_C-1(t)]^T是測量矩陣，經過測量采樣每比特信息得到I=Cκ個樣值。

    在接收端，本文的目的是解調出a，因而不需要重構出壓縮感知的原始信號b(t)?？梢酝ㄟ^壓縮信號處理的方法^[8]，在壓縮域直接對壓縮信號進行處理解調出信息比特。通過壓縮信號處理的方法對信號解調減小計算復雜度，省去了信號重構的過程。

2 仿真實驗

    為了描述基于壓縮信號處理的接收機性能，分別采用奈奎斯特采樣和壓縮感知硬件采樣對BOC信號接收解調，并比較在高斯白噪聲信道下各自的誤碼率性能。文中僅在理想的情況下對BOC解調算法進行分析，不考慮載波頻偏的影響，并且認為信號已經同步。實際應用中，載波的剝離可以通過載波跟蹤算法完成，碼字的同步亦可由延遲鎖定環確定。

    為方便且不失一般性，仿真中采用BOC（1，1）信號，偽隨機碼周期中含有32個碼片，每比特信息用一個周期的32碼片進行擴頻。仿真采用蒙特卡羅算法，設置錯誤信息比特門限為100，在相同的Eb/N0的情況下對比兩種解調方法的誤碼率。仿真結果如圖3所示，在壓縮率κ=0.5的情況下，為得到同樣的誤碼性能(誤碼率10^-5)，使用壓縮信號處理解調BOC信號比采用經典方法解調BOC信號需要高出3 dB左右的信噪比。但是采樣速率降低了1/2，后續處理的計算量減少了一半。壓縮信號處理方法中，解調損失的信噪比是由噪聲折疊引入^[18]。

    采樣后需要量化，量化分辨率影響誤碼性能，如圖4所示。為了評定壓縮采樣和奈奎斯特采樣量化后對誤碼性能的影響，在相同的量化總比特數下對其進行對比。也就是說，奈奎斯特采樣速率下2 bit量化和1/2壓縮采樣下4 bit量化具有相同的量化總比特數。對比這兩種情況，同樣達到誤碼率10^-5，壓縮采樣所需的信噪比僅僅比奈奎斯特采樣多1 dB。在采樣率受限的情況下，可以通過增加量化分辨率改善誤比特性能。

3 結論

    本文應用壓縮感知的方法產生BOC信號，副載波波形為其成型波形，并采用壓縮信號處理對BOC信號解調。解調算法不同于隨機解調器，接收端不需要與隨機序列相乘，實現簡單。這種基于壓縮信號處理的BOC信號解調方案所需要的采樣速率低于奈奎斯特采樣速率，有利于降低系統功耗和器件成本。壓縮信號處理可以解決目前信號處理的瓶頸，即越來越高的采樣頻率、大量數據的存儲處理和分析。可以想象壓縮信號處理有著廣泛的應用空間，特別是對高帶寬的擴頻信號，壓縮信號處理有天然的吸引力。

參考文獻

[1] CANDES E J，ROMBERG J，TAO T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59(8)：1207-1306.

[2] DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transaction on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306.

[3] TROPP J A，LASKA J N，DUARTE M T，et al.Beyond Nyquist：efficient sampling of sparse bandlimited signals[J].IEEE Transaction on Information Theory，2010，56(1)：520-544.

[4] 翁天陽，莊宇，于瑋，等.基于HPS和FPGA的圖像壓縮感知編解碼系統[J].電子技術應用，2017，43(5)：90-93.

[5] OKA A，LAMPE L.A compressed sensing receiver for UWB impulse radio in bursty applications like wireless sensor network[J].Physical Communication，2009，2(4)：248-264.

[6] PAREDES J L，ARCE G R，WANG Z.Ultra-wideband compressed sensing：channel estimation[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1(3)：383-395.

[7] LASKA J，KIROLOS S，MASSOUD Y，et al.Random sampling for analog-to-information conversion of wideband signals[C].IEEE DCAS Workshop，Dallas，TX，USA，2006：119-122.

[8] DAVENPORT M A，BOUFOUNOS P T，WAKIN M B，et al.Signal processing with compressive measurements[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4(2)：445-460.

[9] AGGARWAL V.Enhanced CDMA communications using compressed-sensing reconstruction methods[C].47th Annual Allerton Conference on Communication，Control，and Computing，Illinois：UIUC，2009：1211-1215.

[10] 鄭昆，張曉林.一種改進的BOC(kn，n)信號無模糊跟蹤方法[J].電子技術應用，2018，44(9)：116-120.

[11] LI X.GPS signal acquisition via compressive multichannel sampling[J].Physical Communication，2012，5(2)：173-184.

[12] FYHN K，JENSEN T L，LARSEN T，et al.Compressive sensing for spread spectrum receivers[J].IEEE Transactions on Wireless Communications，2013，12(5)：2334-2343.

[13] FYHN K.Demodulating subsampled direct sequence spread spectrum signals suing compressive signal processing[C].20th European Signal Processing Conference，Bucharest，Romania：EUSIPCO，2012：2556-2560.

[14] Wang Shuai，An Jiangping，Ren Yanyang，et al.Compressed receiver for multipath DSSS signals[J].IEEE Communcations Letters，2014，18(8)：1359-1362.

[15] BETZ J.Binary offset carrier modulation for radionavigation[J].Navigation：Journal of the Institute of Navigation，2001-2002，48(4)：227-246.

[16] PRATT A，OWEN J.BOC modulation waveforms[C].ION GPS/GNSS，Portland，OR：ION，2003：1044-1057.

[17] PROAKIS J G，SALEHI M.Digital communications(5th Edition)[M].New York：McGraw-Hill，2008.

[18] METZLER C A，MALEKI A，BARANIUK R G.From denoising to compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2016，62(9)：5117-5144.

作者信息:

宋  朋1，何國棟2

(1.中國電子科技集團公司第五十八研究所，江蘇 南京210000；

2.安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖241003)