0 引言

    在計算機控制系統中，往往需要對模擬量信號進行采集，但計算機只能識別數字量信號，因此需要將實際的物理量轉換為計算機所能識別的數字量。AD轉換芯片作為模擬量采集的核心部件，AD轉換的精度直接影響到控制系統的精度。AD轉換受傳感器自身特性的非線性、參考電壓波動、溫漂、零漂等問題的影響，導致實際物理量與轉換后的數字量之間存在非線性關系，使轉換精度無法滿足控制系統的要求^[1]，因此需要對AD轉換結果進行校正。

    對于AD轉換中存在的非線性問題，通常可從硬件和軟件兩方面進行處理。硬件處理在盡可能減少非線性的基礎上^[2]，通常配合軟件處理一起。軟件處理的方法較多，其擬合精度高，快速性好，通常有線性近似法、分段直線回歸法、傳統的回歸法（如最小二乘法）等，目的都是采用軟件的方法盡可能降低由于非線性帶來的誤差。

    本文提出了一種基于最小二乘法的最優化分段線性擬合方法，對AD轉換結果進行軟件在線校正，最后將校正后的分段點、斜率和截距等數據下發到被校正裝置(如以STM32為MCU的模擬量采集系統)中。經實際測試驗證，其擬合速度快、準確性高且操作方便。

1 最小二乘法

    軟件實現線性化是基于最小二乘法原理的^[3-4]。以滿足用戶要求的誤差標準為前提，將整個量程范圍劃分為不同的區間，在每個分段區間內對實際物理量和轉換后數字量采用最小二乘法進行直線擬合，確定各直線的待定系數a_i(斜率)和b_i(截距)。確定a_i和b_i后，得到y_i=a_ix+b_i這樣一條直線，使得用這條直線去近似這段曲線時，整個區間內的誤差都較小，最后可得到整個量程范圍內確定的函數關系。

    得到a_i、b_i值，則可確定各區間內直線的函數關系。

2 軟件線性化基本思路

    經理論分析和實驗表明，實際物理量和AD轉換后數字量間的非線性關系主要分布在低端和高端，中間基本上是線性關系。因此，簡單地對整個量程區間的非線性關系進行線性擬合時，兩端與實際曲線的擬合度很低^[5]，得到的擬合函數無法準確地表達整個量程范圍內實際物理量和數字量間的關系。

    如果不進行分段線性校正，擬合函數f(x)的階數必須高于7^[6]，才能滿足控制系統精度的要求。而由于高階擬合函數計算復雜，需要用到迭代法，計算時間長，占用內存多，難以在實際中應用。因此就需要分段，將整個量程范圍根據誤差標準經過計算進行劃分區間，分別對每個劃分區間進行擬合，各區間有不同的擬合函數，此時可認為每個劃分區間中的實際物理量和數字量間存在線性關系，而在整個量程范圍內實際物理量和數字量之間是非線性關系。

    理論證明，只要分段的間距足夠小，分段的數量足夠多，對于任意的連續函數，在誤差允許的范圍內，都可以用分段線性化來處理。但是在實際應用中，應根據誤差標準來劃分區間，劃分的區間數量不宜太多。當允許誤差較大時，分段數較少；當允許誤差較小時，分段數較多。此動態分段方法既可簡化得到擬合函數的過程，又能提高轉換精度，滿足控制要求。基于最小二乘法的最優化分段線性擬合方法的基本思路為：

    (1)假設有一組樣本數據(x_i，y_i)(i=0，1，2，…，n-1)(數字量x_i從小到大排列)，用戶根據實際測試需求，輸入允許誤差ε及量程范圍[M，N](M、N均為數字量)。

    (2)計算機取出數據(x_i，y_i)的前3個點，擬合區間為[M，x₂]。用最小二乘法求出各點在擬合區間[M，x₂]內的擬合系數a₀和b₀并依次計算各點的誤差值ε_i，其中ε_i=

|y_i-(a₀x_i+b₀)|。

    (3)將各點誤差值ε_i與允許誤差ε進行比較。若這3個數據點均滿足允許誤差，計算下一個點x₃的誤差值ε₃。將ε3值與允許誤差ε進行比較，若仍小于允許誤差，則擬合區間再增加一個數據x₃，擬合區間為[M，x₃]。依次類推，直到在區間[M，x_k]中出現某點x_k，其誤差值ε_k大于允許誤差ε，計算機會自動將區間[M，x_k]減少一個數據x_k。此時可得到分段區間[M，x_k-1]內滿足精度要求的擬合函數表達式y₀=a₀x+b₀，且這條直線延伸到量程范圍的起始點M。

    若這3個數據點中有任何一個點不滿足允許誤差，則將3個數據點中的前兩個點根據“兩點確定一條直線”定律，連接成一條直線且這條直線延伸到量程范圍的起始點M，分段區間為[M，x₁]。且設定這3個數據點中不滿足誤差要求的點為第3個，為方便敘述，假設這個點為x_k。

    (4)下一段從x_k-1點開始，計算機取3個數字量x_k-1、x_k、x_k+1，此時擬合區間為[x_k-1，x_k+1]，用最小二乘法求出各點在擬合區間[x_k-1，x_k+1]內的擬合系數a_j和b_j(j=1，2，…，n-2)，并依次計算各點的誤差值ε_k。沿用步驟(3)中的方法，找出新區域內的擬合表達式。直至計算判斷達到量程范圍上限N點，擬合過程結束。至此得到了符合允許誤差的各段擬合函數，覆蓋了整個量程范圍。

    根據上述方法，在實際校正中會出現很多種可能，圖1和圖2為兩種典型情況下的處理方式。情況1為有3個點滿足誤差標準的處理方式，情況2為有3個點不滿足誤差標準的處理方式。

3 軟件線性化的實現

    AD轉換在線校正軟件使用VS2010 C#開發，并將校正后的允許誤差、量程范圍、分段數、分段區間、斜率a和截距b等參數保存到Access數據庫中，用戶可根據允許誤差和量程范圍隨時查詢。

    軟件可校正的物理量有直流電壓、直流電流、交流電壓、交流電流和交流頻率，每次只能校正一個物理量。AD轉換在線校正軟件主要包括串口設置界面、非線性校正界面(主界面)和實時曲線界面。串口設置界面主要用來設置校正軟件與被校正裝置間的通信參數；非線性校正界面包括數據請求、數據顯示、擬合折線和歷史數據查詢四部分，實現數字量的接收、物理量的輸入、根據允許誤差和量程范圍進行分段線性校正并將參數下發給被校正裝置，以及保存和查詢等功能；被校正裝置根據校正軟件下發的參數進行物理量的回歸運算^[7]，校正軟件通過發送指令讀取運算得到的物理量值，并將物理量值通過實時曲線界面顯示。非線性校正界面如圖3所示。

4 軟件線性化測試結果

    在軟件線性化測試中，被校正裝置為以STM32為MCU的模擬量采集系統，其內部AD轉換器的位數為12 bit，物理量為直流電壓，其量程范圍為1～10 V。AD轉換后數字量與實際測量的物理量如表1所示。

    通過本文提出的校正方法對表1中的數據進行最優化分段線性校正，當允許誤差分別為0.2和0.5時，其擬合分段直線如圖4和圖5所示。由圖4和圖5校正結果對比可知，計算機可以根據允許誤差的大小來動態調整分段區間，得到最優化分段，使得分段數最優；校正過程方便，用戶只需手動輸入實際物理量、允許誤差和量程范圍；并且校正的準確度高，要求的允許誤差越小，校正后的折線越逼近實際曲線。

    在上述測試條件下，允許誤差為0.2和0.5時，其擬合結果的分段數、分段區間、各段系數及最大誤差如表2所示。由兩組數據對比結果可知，擬合結果的分段區間不是固定的，而是會根據允許誤差的不同實現動態分配，從而實現了分段數的最優化。同時，對于不同的允許誤差，當允許誤差較小時，分段區間越多，擬合精度越高，因此在實際的運用中，可根據需要設置允許誤差，獲得校正數據，從而實現提高物理量回歸運算精度的目的。

5 結論

    本文提出了一種基于最小二乘法的最優化分段線性擬合方法，經過實際測試驗證，擬合精度高，分段合理，算法簡單且快速性好，達到了方便、準確實現非線性校正的目的。在實際操作時，用戶需要將實際測量的物理量、量程范圍及允許誤差輸入到軟件中，計算機可根據軟件程序自動計算出分段區間和擬合系數，用戶再將擬合參數下發給被校正裝置即可。此方法也可用于嵌入式系統的輔助開發中，進行模擬量的非線性校正，提高非線性校正的靈活性和準確性。

參考文獻

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作者信息：

賈紅敏，張立廣，淡建超

(西安工業大學 電子信息工程學院，陜西 西安710021)