??? 摘 要： 回顧了多分辨率多方向性圖像表示，分析了其存在的問題，介紹了新型方向濾波器組" title="濾波器組">濾波器組即均勻方向濾波器組" title="方向濾波器組">方向濾波器組和非均勻方向濾波器組，證明了濾波器通帶條件,討論了相關的設計和實施問題，并進行了實驗仿真。
??? 關鍵詞： 方向濾波器組? 虛自由支撐? 濾波器設計
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??? 在人類視覺系統的研究中，已證明在人類視覺感知過程中方向信息起到重要作用。因此，圖像的方向表示將是提取和理解視覺信息的第一步。景物圖像包含許多集合特征，如邊緣和紋理，而基于方向基能很好地表示這些特征。另一方面，在圖像分解中以分層方式用多分辨離散變換表示圖像數據，每層均能達到較好的效果，為由粗分辨率到細分辨率有效算法的構造提供了有利條件。因此，多尺度和多方向性是圖像處理的重要特性。
??? 在過去的20年里，小波" title="小波">小波和濾波器組已經有效地運用到許多信號處理中。濾波器組及其應用的論題在信號處理領域[１-２]已進行了廣泛研究。小波應用到圖像處理需要設計二維小波基，這種二維濾波器在逼近點奇異時（點在一個圖像中）還有效，但在逼近線奇異時（線在圖像中）就無能為力了。這是因為小波張量積基函數的同向性不適合處理邊界(或邊緣)。這個事實在許多研究中已得到證實，因此，尋找基于景物圖像較有效的基是當前最具吸應力的研究領域。近幾年，Candes和Donoho構建了曲波變換，被證明它是兩變量函數的一種本質上的最佳表示，除了在非連續C2（二階可微）曲線，該變換是平滑的。改進的關鍵是曲波的基函數遵循類似拋物線的尺度規則，使得它能很好地適應平滑的邊緣。由于平滑函數的空間具有C2曲線奇異，類似于景物圖像具有連續亮度值和不連續平滑曲線（邊緣），這樣一來，在離散域中尋找同樣的變換變得更為迫切。Contourlet變換是在2002年由M.N.Do和Martin Vetterli提出的。二維小波變換僅對零維或不連續的點有稀疏的表示，而對于輪廓線，它卻無能為力。Contourlet變換就是為了克服小波變換的這種不足而提出的，其濾波器結構是拉普拉斯金字塔和方向濾波器組的聯合，不僅具有小波的多分辨率特性和時頻局域特性，還具有很強的方向性和各向異性，因此，它對輪廓等紋理線的表示很稀疏。因為圖像是由很多短的輪廓線組合而成，Contourlet變換對圖像進行變換后得到的系數也要比小波稀疏。因此，Contourlet變換能很好地應用于圖像的壓縮、去噪和特征提取。但該變換盡管從方向成分中分離了低頻成分，而分離過程是在低頻段完成的不具有最大抽樣特性。針對這一問題，本文介紹一種具有最大抽樣特性的新型方向濾波器組即均勻方向濾波器組和非均勻方向濾波器組。具體介紹了最大抽樣特性所要滿足的濾波器組的虛自由支撐（可容許性）和兩種新型濾波器組及其設計方案，并進行了實驗仿真。
1 濾波器組的虛自由支撐(可容許性)
??? 對于一個完全重構(PR)濾波器組，要實現最大抽樣其抽樣矩陣的虛自由支撐特性（AFS）是必須具備的。如果一個二維信號x(n)以采樣矩陣M向下采樣，則向下采樣信號y(n)=x(Mn)的離散傅立葉變換[2]是：
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式中，N(MT)是由矩陣MT產生的屬于對稱平行六面體(SPD)的所有整數格子點的集合。
??? 如果濾波器是理想的，又可以證明該濾波器滿足AFS特性，則濾波器是PR濾波器組。一個關于濾波器通帶條件即當抽樣系數Ｍ抽樣時沒有混淆現象的定理是：
??? 定理：在[-π，π)2支撐S的區域稱為關于矩陣M的AFS，當且僅當滿足下列條件：每個點x∈SPD(πM-T)，存在惟一點y∈S、m∈Z2，則X-Y=2πM-Tm。
??? 證明：該定理是濾波器虛自由抽樣理論[2]的推廣，支撐是SPD(πM-T)的復制轉移。當式（1）的主成分和混淆圖像間沒有重疊時，一個理想濾波器支撐在區域S關于抽樣矩陣Ｍ，滿足其AFS特性。
??? 假設式（１）的主項和混淆項間有一個重疊區域，定義區域S0={MTω|ω∈S}和S1={MTω+2πk|ω∈S，k≠0}是重疊的，則存在ω0，ω1∈S有：
??? MTω0=MTω1+2πk?????????????????????????????????????????? (2)
??? 因為
由定理，存在惟一的
分別與ω0和ω1對應，則有
由SPD(πMT)映射到S的惟一性，
由式（2）可得：
??? 
??? 簡而言之：
??? 
??? 由SPD(πM-T)定義和式(4)，則有(k+m1-m0)∈(-1，1)2。但所有的k、m1、m0都屬于整數格子，因此(k+m1-m0)＝０，它使得
導致矛盾。如果理論條件不滿足，同理可證明AFS條件將不滿足。
??? 根據上述理論，對于一個任意形狀的關于矩陣Ｍ的濾波器的一個簡單虛自由抽樣測試如下：如果能找到一個支撐形狀濾波器的分區即存在mk∈Z2，以便此時分區的kth元素被2πM-Tmk所搬移，則分區搬移集合就擬合在SPD(πM-T)。這里標注mk可以不同于分區的每個元素。
2 均勻方向濾波器組
??? 傳統的DFB和新的DFB對頻域的分割分別如圖1(a)、(b)、(c)所示。新的頻率分割方法來自于景物圖像的幾何特征。圖像通常有邊緣平滑區域和紋理平滑區域，紋理平滑區域在一幅圖像中方向高通子帶能提取方向信息，而低通" title="低通">低通子帶提供一個粗糙的逼近。
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??? 為了實現圖1(b)中八通道濾波器組的頻率分割，本文采用了一個均衡八通道濾波器組，如圖2(a)所示。該濾波器組稱為均勻方向濾波器組,該框架有許多優點：(1)濾波器設計具有高度的規律性。(2)整個八通道濾波器能直接實施比二進制樹更為緊湊的結構。(3)方向子帶中濾波器組無直流泄漏。
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??? 圖3展示了一個測試示例，說明在新的DFB中方向子帶1滿足AFS條件?？梢钥闯?，一個兩通道組滿足容許特性。由前述定理說明新的DFB是具有最大抽樣特性的。
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3 利用非均勻DFB進行多分辨率方向分解
??? 利用濾波器組進行多分辨率圖像分解，是按低通系數重復同樣的濾波器組。對于一維倍頻帶多分辨率，低通濾波器的通帶支持(帶寬)是整個頻率空間的1/2。因此，二維倍頻帶多分辨率，低通濾波器的通帶支持(帶寬)是整個頻率空間的1/4。均勻DFB有兩個低頻子帶（0和4），聯合起來可獲得1/4的采樣因子。一個最好的方法是使用一個非均勻濾波器組，該濾波器具有1/4采樣因子和采樣矩陣D2的一個低通成分，如圖2(b)所示。其他的六個方向子帶采用相同的方法。非均勻DFB的頻率劃分如圖1（c）所示，其優點有：類似于DWT有同樣的低通頻率支撐(-π/2，π/2)2，圖像分解代之以更加精細的水平、垂直和對角子帶。非均勻DFB使用了六個方向子帶，在分解中提供了更多的靈活性：
??? (1)要獲得一幅圖像的一個(方向的)多分辨率，可以將整個濾波器組在低通通道上重復。
??? (2)要成倍提高方向解析度，可以在高通通道的每個輸出端疊加一個具有扇形通帶的兩通道濾波器組。
4 空域優化濾波器設計
??? 設計非分離多分辨率濾波器組是一個具有挑戰性的問題，通常的方法是變量轉換[3-4]?；谝痪SPR濾波器組的二維濾波器設計方法" title="設計方法">設計方法應用到兩個以上通道較為困難。目前，還沒有系統的方法設計具有規則性和某種頻率特性(阻帶衰減，通帶波紋等)的二維PR濾波器組。
??? 本文中所用的優化設計方法在設計濾波器時不使用樹結構。與其他濾波器優化設計方法不同，重構錯誤的計算即分析和合成濾波器系數的雙線性函數是在時域進行的，設計過程是計算過后設法減少在每步中的重構錯誤。該方法只通過解迭代的線性方程組設計一個PR正交或雙正交的濾波器組，就可以實現均勻DFB和非均勻DFB兩種情況的濾波器組的設計，并且設計很靈活。設s={1，2，3，5，6，7}是非均勻DFB情況下的方向子帶索引的集合，子帶數量M=8，則該設計能夠表示為一個優化問題，其目標函數為：
??? 
或：
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??? 式(5)和式(6)分別是均勻DFB和非均勻DFB的目標函數。目標函數主要由兩部分組成，構成了PR或雙正交特性。其中，第一項
符合歸一化條件，只有當兩個濾波器
??? 
??? 另外，當分析和合成濾波器時有等同的規則性度量，具有下列線性約束[1]：
??? 
式中，r1、r2是非負整數，r1+r2
??? 迭代期間，每個濾波器組是相應分析濾波器的時間反轉，即fj(n)=hj(-n)，由此可獲得濾波器組的正交性。為了使濾波器收斂到一個正交解，需要更新濾波器系數，即：
??? 
5 仿真實驗
??? 本次實驗是比較小波和非均勻濾波器組的逼近性能，將512×512大小的芭芭拉圖像分解為三層，低層用DWT，兩個高層用非均勻DFB對Barbara圖像進行分解(該圖像同時也被“9-7”小波分解)，然后用同樣數量的最高幅度系數重構，如圖4所示。重構圖像使用了6 144個系數(整個圖像系數的2.3%)，結果非均勻濾波器組信噪比略高于小波，而且可以看出，前者視覺質量要好于后者。
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??? 本文介紹了新型DFB即均勻DFB和非均勻DFB，討論了相關的設計和實施問題。這兩種DFB可以用于二維信號的多方向多分辨率表示。根據樹形結構的頻率特性和規則性約束設計要求，得到了DFB的直接設計方法,在較高的計算代價要求下，該方法允許在高通帶設計性能較高的方向濾波器。該設計方法首次給出了多分辨率多方向二維PR濾波器保持最大分樣的特性，并且用簡單的兩通道濾波器組，方向解析度就能夠得到增加，簡單的設計就服從近似正交DFB，其設計結果經圖像非線性逼近。實驗表明，該方向濾波器組具有一定的應用潛力。
參考文獻
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