??? 摘 要： 研究了基于混合核函數" title="核函數">核函數的最小二乘支持向量機（LS-SVM" title="LS-SVM">LS-SVM）的圖像邊緣檢測" title="邊緣檢測">邊緣檢測技術，利用LS-SVM對圖像像素鄰域的灰度值進行了曲面擬合，通過混合核函數推導出了圖像的梯度算子和零交叉算子，并結合梯度算子和零交叉算子實現了圖像邊緣定位。
??? 關鍵詞： 邊緣檢測? 最小二乘支持向量機? 混合核函數? 邊緣檢測性能

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??? 邊緣檢測往往是其他圖像處理技術的基礎。傳統的邊緣檢測算子如Sobel、Prewitt、Robert等，對噪聲很敏感。近幾十年來，有很多學者圍繞邊緣檢測問題提出了很多算法^[1-4]。在邊緣檢測算法中，曲面擬合方法抗噪性強、檢測精度高，是近年來出現的比較好的方法。近年來，支持向量機SVM(Support Vecror Machine)也得到了巨大的發展^[5]。其中最小二乘支持向量機LS-SVM[6](Least Squares SVM)在函數估計中應用較多。LS-SVM的許多特性是由所選擇的核函數決定的，一種改進的方法是把多個核函數線性組合起來形成一種混合核函數[7]，由這種混合核函數構造的LS-SVM不僅學習能力強，而且具有很好的推廣性。本文利用混合核函數（采用3×3大小的卷積核）對圖像邊緣提取進行研究。實驗結果表明，在信噪比" title="信噪比">信噪比較小的情況下，該方法比單獨使用高斯" title="高斯">高斯核或者多項式核進行邊緣提取的性能要好。
1 LS-SVM
1.1 LS-SVM原理
??? LS-SVM是統計學習理論中常用的方法，其思想如下：給定訓練樣本集，通過非線性變換φ(·)把n維輸入向量x_i和輸出樣本向量y_i從原空間R_n映射到高維特征空間F，在此空間中構成最優線性決策函數：
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式中，ω為超平面權值向量，b為偏置項。
??? 對于LS-SVM，可以得到如下線形方程^[8]：
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式中，，表示拉格朗日乘子；Z_kn=φ(x_k)^T·φ(x_n)；常數γ>0，它對超出誤差的樣本的懲罰程度進行控制；I表示單位矩陣。
??? 根據Mercer條件，存在一個映射函數φ，并可選擇一個核函數K滿足下列條件：
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??? 這樣，基于LS-SVM的函數估計表達式為：
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式中，α_k和b是(4)式的解，具體的形式取決于核函數K(x，x_k)的類型。
1.2 LS-SVM核函數分類
??? 目前研究最多的核函數主要有以下幾類：
??? (1)局部性核函數，僅僅在測試點附近的小鄰域對數據點有影響。其中應用較多的是徑向積核函數（RBF）：K(x，x_k)=exp{-|x-xk|²/δ²}，式中δ²是高斯核寬度。
??? (2)全局性核函數，允許遠離測試輸入的數據點對核函數的值也有影響。其中應用較多的是多項式核函數（Poly）：K(x，x_k)=(x·x_k+1)d，式中d是多項式的次數。
??? (3)混合核函數，因為局部性核函數學習能力強、泛化性能較弱，而全局性核函數泛化性能強、學習能力較弱，因此把這兩類核函數混合起來^[9]。本文采用的K_mix=λK_poly+(1-λ)K_rbf就是混合核函數中的一種，并且滿足Mercer條件。式中混合系數λ∈(0，1)。
2 基于LS-SVM的圖像邊緣檢測
2.1 利用LS-SVM進行圖像擬合的原理^[8]
??? 一幅二維灰度圖像可以認為是一個連續的函數：y=f(x)：R²→R¹，x是二維向量，表示像素點的行、列坐標，輸出y是一個標量，表示輸入向量x所對應的像素點的灰度值。通過LS-SVM算法可以在像素鄰域大小確定的情況下構建出輸出向量和像素點之間的關系。令Ω＝Z+γ^-1I，A=Ω^-1，B=Π^TΩ^-1/Ω^TΠ^-1Π，則由式（2）可以得到如下等式：
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式中，A和B在實際計算中可以預先計算，與圖像灰度值無關，從而降低了實時運算的復雜度。通過選用不同的核函數可以得到不同的曲面擬合形式。
??? 設R和C為原始圖像中某一個像素的對稱鄰域內的坐標集，例如R={-1，0，1}，C={-1，0，1}。在混合核函數的LS-SVM中，定義在矢量空間的圖像灰度曲面擬合函數可寫成如下形式：
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式中，α_i、b是（2）式的解，d是多項式的階次， ?姿是混合系數，?滓2是高斯核參數，f(r，c)是點(r，c)的灰度估計值。
2.2 圖像梯度算子和零交叉算子計算
??? 采用混合核函數的LS-SVM進行圖像曲面擬合時，對于點(r，c)，其一階和二階的水平和垂直方向上的偏導數如下：
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式中，E=exp{-(|r-r_i|²+|c-ci|²)/δ²}，D=(r·r_i+c·c_i)。根據式（5）把?琢的關系式帶入偏微分方程（7）～（10）式中，可得：
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??? 可以看出，圖像的梯度算子和零交叉算子可以由支持向量機核參數和卷積核大小直接求出，不用訓練，實現起來比較容易，而且梯度算子和零交叉算子是來自于同一LS-SVM擬合曲面函數，因此可以同時綜合梯度和零交叉點進行邊緣的定位和檢測。
2.3 圖像邊緣檢測算法的實現
??? (1)采用高斯濾波器對圖像進行去噪預處理；
??? (2)利用模板F_r、F_c和圖像卷積得到圖像水平、垂直方向的梯度，并對梯度進行閾值化，得到梯度所確定的邊緣圖S1；
??? (3)利用模板F_u和圖像卷積得到圖像二階導數并查找零交叉點，得到基于零交叉點的邊緣圖S2；
??? (4)對邊緣圖S1和S2進行“與”運算，得到邊緣圖S；
??? (5)去除邊緣圖S的離散點，并對其細化，得到最終的邊緣檢測圖。
3 實驗分析
3.1 邊緣檢測的性能指標
??? Abdou和Pratt提出了一種評價邊緣檢測性能的客觀標準^[10]，其定義為：
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式中，I_i表示實際檢測到的邊緣像素點與最近的理想邊緣像素點之間的距離；ID和IL分別為實際檢測到的邊緣像素個數和理想的邊緣檢測像素個數。α是懲罰因子，取0到1之間的正數。實驗中采用圖1所示的測試圖像，通過對測試圖像引入噪聲，利用不同的核函數算法對噪聲圖像進行邊緣提取，得出邊緣檢測性能指標P， P值越大，說明檢測的性能越好。
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3.2 實驗結果分析
??? 利用混合核函數的LS-SVM算法提取圖像邊緣，混合系數與邊緣檢測的性能緊密聯系。在SNR=10dB時比較了大小為3×3的卷積核對應不同的混合系數所得到的性能，并在不同信噪比情況下同Canny法進行比較，其結果如圖2和圖3所示。
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??? 在圖2中，λ＝0時對應的是徑向積核函數LS-SVM的邊緣檢測性能；λ＝1時對應的是多項式核函數LS-SVM的邊緣檢測性能；當λ取0到1之間的數值時對應的是混合核函數LS-SVM的邊緣檢測性能。從圖2可以看到，若能選取適當的混合系數，采用混合核函數的LS-SVM所得到的邊緣檢測性能要優于單獨使用多項式核函數或者徑向積核函數的LS-SVM算法所得到的邊緣檢測性能。圖3則表明在噪聲情況下混合核函數的LS-SVM算法的檢測性能要優于Canny方法的檢測性能。利用LS-SVM方法和Canny法分別提取Lena,Rice圖像的邊緣效果圖如圖4所示。

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??? 實驗中采用圖1所示的合成測試圖，分別加入信噪比為5dB、10dB、15dB、20dB、25dB的高斯噪聲進行邊緣提取，幾種邊緣檢測性能P的值如表1所示。

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??? 從表1可以看出，利用LS-SVM方法比Canny方法可以獲得更好的邊緣檢測性能。而利用LS-SVM提取圖像邊緣時，在信噪比較高的情況下采用混合核函數得到的性能和單獨使用高斯核函數或者多項式核函數的性能是一樣的，但是在低信噪比的情況下，通過采用不同的混合系數，混合核函數所表現出來的性能要比單獨使用高斯核或者多項式核函數的性能更好。
??? 本文利用最小二乘支持向量機對圖像像素鄰域的灰度值進行曲面擬合，在核函數為高斯、多項式以及混合核時，直接求出圖像灰度擬合曲面的一階和二階導數，從而得到梯度算子和零交叉算子。為進一步反映該算法邊緣檢測性能，本文通過實驗確定了不同信噪比下的最佳混合系數，通過與Canny法比較得到了如下結論：
???(1)基于LS-SVM的邊緣檢測方法在有噪聲情況下可以獲得比Canny方法更優越的性能；
?? (2)在信噪比較高的情況下，采用混合核與采用高斯和多項式核的LS-SVM獲得的性能是一樣的，此時混合系數的大小與檢測性能無關；
?? (3)在信噪比較低的情況下，通過選擇合適的混合系數，采用混合核的LS-SVM獲得的檢測性能要優于采用高斯核、多項式核的LS-SVM獲得的檢測性能。
參考文獻
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