一、引言
DFT(離散傅里葉變換)作為將信號從時域轉換到頻域的基本運算，在各種數字信號處理中起著核心作用，其快速算法FFT(快速傅里葉變換)在無線通信、語音識別、圖像處理和頻譜分析等領域有著廣泛的應用。用大規模集成電路FPGA(現場可編程門陣列)來實現FFT算法時，需要重點考慮的不再是算法運算量，而是算法的復雜性、規整性和模塊化，因為算法的簡單性和規整性將更適合大規模集成，更方便于版圖設計，而算法的模塊化更有利于FFT處理器的靈活擴展。組合數FFT算法和CORDIC(坐標旋轉數字計算機)算法結合起來，在計算長點數、可擴展FFT時具有較大的優越性［1，2］。而面向高速、大容量數據流的FFT的實時處理，可以通過VLSI(超大規模集成電路)器件的并行處理或多級流水線處理等來達到。特別是多級流水線處理的FFT結構使得基于FPGA器件的FFT處理器完成不同點數的FFT計算時可以通過增減模塊級數很容易地實現。
二、組合數N=r1r2點混合基FFT原理
計算N點DFT：
式中k=0，1，…，N-1。
若N=r1r2的組合數，可將n(n＜N)表示為
式(2)的意
義在于，計算組合數N=r1r2點DFT，等價于先求出r2組r1點的DFT，其結果經過對應旋轉因子的相位旋轉后，再計算r1組r2點的DFT。實際應用中，DFT往往用它的快速算法FFT實現，因而式(2)中的r1點DFT和r2點DFT都用r1點FFT和r2點FFT實現。
三、可擴展FFT處理器實現結構
根據式(2)的FFT算法原理設計FFT處理器的可擴展結構如圖1所示。
采用流水線模塊化級聯結構，把FFT處理器劃分成短點數FFT、級間混序RAM和相位旋轉等功能模塊，設計的各功能模塊可以重復利用，通過復用或增減各功能模塊可以靈活改變FFT處理器的計算規模，而且不增加設計量。在圖1結構中，當Li＝1時，就演變成了基2 FFT；當Li＝2時，就演變成了基4 FFT；同理，當Li≠Lj時，就演變成了高組合數的混合基FFT。
1.短點數FFT陣列結構
－Tukey算法結構實現時，有大量的復數乘法實際上轉化為加減運算，所以用陣列結構實現不但具有速度快的優點，而且所用器件資源也減少很多，通過對陣列結構短點數FFT進行時分復用，可以提高運算單元的使用效率。
2.相位旋轉運算單元
實現短點數FFT級間相位旋轉，采用ROM存儲旋轉因子與數據復乘的傳統方法，不僅涉及乘法運算，而且會消耗大量存儲器資源。
利用CORDIC算法實現組合數FFT級間數據的相位旋轉，把乘法轉化成加減法運算，適合FPGA的大規模集成。可以設計出統一結構的CORDIC處理器模塊，重復利用于不同級間實現相位旋轉，而且其控制邏輯非常簡單。
(1)CORDIC算法原理
如果旋轉角度θ可以分解成n個小角度φi之和，即：
公式:
(2)CORDIC處理器結構設計
本文提出了一種流水線CORDIC處理器結構的解決方案。實現式子(4)的迭代運算時采用補碼移位和補碼加減運算，可以減少大量求補運算，其迭代結構如圖2所示。
前者在于左移補零的位數的不同，這樣，只需要改變n0k0的放大倍數(改變左移低位補零的位數)，就可以把同一方向向量功能模塊級聯到圖1 FFT處理器的不同級間來計算CORDIC處理器的MSBi，這就大大地減小了重復設計，其迭代結構如圖3所示。
3.RAM結構及其級間數據混序用流水線讀/寫RAM地址發生器的設計
設計的RAM，每個存儲單元為32 bit，高16位為復數的實部，低16位為復數的虛部。輸入輸出數據接口用RAM設計為乒乓結構，用兩塊相同的RAM交替讀出或交替寫入數據，這樣就放寬了對I/O操作速度的要求，使得外圍電路可以不必工作于FPGA系統時鐘。
級與級之間數據混序用RAM設計為讀/寫RAM，對RAM同一存儲單元用兩個時鐘完成一次讀/寫操作，即用流水線讀/寫同一塊RAM來實現級與級之間的數據混序。此結構取代了用兩塊RAM完成數據混序的乒乓結構的傳統方法，不涉及存儲器之間的讀寫切換，控制邏輯非常簡單，而且消耗的存儲器資源節省一半，這是實現結構可靈活擴展的高速FFT處理器的關鍵和難點?？梢酝ㄟ^理論推導，求得第i級FFT與第i-1級FFT級間混序用RAM的奇次讀/寫地址為
的基礎上向左循環移位，位長為Li-Li-1位；同時，后者又表示在前者的基礎上向左循環移位，位長為Li-Li-1位，從而形成地址的循環移位規律。把Li-1=Li和Li-1
4.8×4×2點組合數FFT處理器的實驗結果及其分析
我們利用FPGA實現的各功能模塊按圖1實現結構組裝了8×4×2點組合數FFT處理器，通過仿真驗證了其設計的正確性后，又在FPGA實驗板上對它進行了硬件驗證，其實驗驗證平臺如圖4所示。
硬件驗證時采取的實驗方法是，用相同的抽樣頻率fs等間隔地抽取不同頻率單頻正弦信號相同點數64點，即固定FFT的頻率分辨率fr，利用設計的64點FFT處理器計算其幅度譜，觀察其幅度譜中直流分量譜線和諧波分量譜線間隔大小的變化，把實驗結果和理論分析結果進行對照，以確認FFT處理器工作的正常與否。
系統時鐘工作在 40.861 MHz 時，抽樣頻率為 40.861/2=20.4305 MHz，抽樣周期為1/20.4305 MHz="48".9 ns，抽取64個點的時間是48.9×64＝3.13μs。因為每個采樣數據間隔時間是48.9μs，所以用設計的流水線方式工作的6
4點FFT處理器計算其幅度譜的譜線間隔也為48.9 ns。當輸入單頻正弦信號的頻率約為638.454 kHz時，其周期為1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz頻率抽樣，3.13μs時間內剛好在正弦信號的2個周期內抽取64點，輸入單頻正弦信號的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第3根譜線，其理論計算結果波形如圖5所示，實驗測試結果波形及其的局部放大波形如圖6和圖7所示。
從示波器上可以看出，橫坐標單元格間隔為1μs，FFT變換周期間隔約為3格，即約為3μs，抽取了信號波形的2個周期，64點FFT計算時間也約為3μs。
輸入單頻正弦信號的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第2根譜線。由于幅度譜的譜線間隔為48.9 ns，也就是說，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns。從示波器上可以看出，橫坐標單元格間隔為100 ns，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns，和理論分析結果一致。
四、結論
本文以高組合數混合基DFT算法為基礎，設計并用FPGA實現了變換點數可靈活擴展的流水線FFT處理器。輸入/輸出數據速率為20 MHz時，讀/寫RAM工作在40 MHz時鐘，計算出1 024點FFT的運算時間約為52μs。本設計采用模塊化設計結構，便于系統調試和實現，而且各設計模塊可以重復利用，避免重復相同的設計，從而縮短芯片設計開發時間，更易于FFT處理器的結構擴展。整個FFT設計結構新穎，實現容易，具有一定實用價值。
參考文獻
［1］程佩清.數字信號處理教程［M］.北京：清華大學出版社，2001.
?。?］侯伯亨，顧新.VHDL硬件描述語言與數字邏輯電路設計［M］.西安：西安電子科技大學出版，1999.
［3］Stephan W.Mondwurf.BENEFITS OF THE CORDIC-ALGORITHM IN A VERSATILE COFDM MODULATOR/DEMODULATOR DESIGN［A］. Fourth IEEE International Caracas Conference on Devices, Circuits and Systems［C］.Aruba, April 17~19, 2002.
?。?］趙忠武，陳禾，韓月秋.基于FPGA的32位浮點FFT處理器的設計［J］.電訊技術，2003，43（6）.
?。?］Y.Ma，L.Wanhammar.A Hardware efficient control of memory addressing for high performance FFT processors［J］.IEEE transactions on signal processing, 2000,48(3):917~921.
?。?］J.E.Volder.The CORDIC Trigonometric Computing Technique［J］. IRE Trans. on Electronic Computers,1959,8(3):330~334.
?。?］韓穎，王旭，吳嗣亮.FPGA實現高速FFT處理器的設計［Ｊ］.電訊技術，2003，43（2）：74~78.
［8］A.M.Despain.Fourier Transform Computers Using CORDIC Iterations［J］.IEEE Trans.on Computers,1993,C-23(10):993~1001.