0 引言

    物理層網絡編碼通過在中繼節點選擇適當的調制解調技術，將相互疊加的電磁波信號映射為相應的數字比特流，然后進行異或處理（即進行了網絡編碼），使得所有多徑、多播干擾變成網絡編碼的一部分，充分利用干擾來提高通信系統的性能^[1]。該技術自2006年提出以來就受到廣泛關注^[2]。

    在同步條件下將物理層網絡編碼應用在無線中繼系統傳輸中，可以使網絡吞吐量比直接網絡編碼模式和傳統中繼轉發模式分別提高50%和100%，信號傳輸速率也分別提高50%和100%^[3]，此外系統的抗干擾能力和安全性能也得到了提高。但在實際環境中，由于信道的距離、類型不同，以及不同終端之間振蕩器、晶振頻率等不可能做到完全同步，造成中繼節點接收到的兩個源節點信號存在載波相位偏移、載波頻率偏移以及符號偏移，使得物理層網絡編碼的性能受到損失^[4-6]，因此研究各個因素對系統性能的影響具有重要意義。

    文獻[7-9]從功率方面對系統性能損失進行理論推導和仿真實驗，分析了各種異步條件對功率的影響。然而各種異步條件對系統誤碼率的影響一直缺乏相關理論。針對上述存在的問題，采用XOR的映射方式，在中繼節點采用不同的處理方式，完成載波相位、載波頻率偏移以及符號偏移對通信系統誤碼率的理論推導和仿真實驗，為物理層網絡編碼的工程應用奠定理論基礎。

1 系統模型

    本文考慮如圖1所示的雙向中繼系統模型^[10]，首先兩個源節點A和B同時向中繼節點R發送信息(即多址接入階段)，然后中繼節點R對兩個目的節點A和B(也就是源節點)廣播信息。

    在中繼節點處理疊加信號的方法主要有：基于符號的疊加（Superposition，SUP）、基于排斥準則的近鄰成簇（Closest-neighbor cluster，CNC）映射^[9]、基于碼字的向量模加（Vector modulo addition,VMA）^[11]和基于比特的XOR等方法。其中基于比特的XOR方法最簡單、最實用^[12]，因此在中繼節點處采用XOR映射方式處理疊加信號。

2 影響因素及分析

2.1 載波相位的影響

    假設兩發送信號載波相位差為θ，使用BPSK調制，則兩源節點A和B發送的信號分別為：

    在中繼節點處對疊加信號乘以載波2cos(wt)，通過低通濾波器得到信號：

    在相位偏移的條件下，物理層網絡編碼的映射關系如表1所示。

    由表1可知：在中繼節點R處兩個端節點的和信號a_A+a_B經過物理層網絡編碼映射之后分別得到-1和1，且-1和1的概率相等，均為50%。根據上述條件可得：

式中f代表映射函數，由貝葉斯公式和條件概率公式可以推導出：

式中，N₀表示噪聲的方差。通過式(8)可以得到物理層網絡編碼映射的判決門限r₁和r₂，從而推導出在載波相位偏移的條件下中繼節點接收信號的誤碼率公式：

    圖2是相位偏移θ分別為0、π/5、π/4和2π/5條件下信噪比隨誤碼率的變化曲線?？梢钥闯?，隨著載波相位偏移的增加，信噪比對誤碼率的影響越來越小。

    角度θ和信噪比對誤碼率的影響如圖3所示。在圖3的三維圖形中可以發現，當載波相位偏移達到90°時，系統的誤碼率不再隨著信噪比的變化而變化，而是趨于一個常數。因此，在物理層網絡編碼的工程應用中應盡量減少載波相位偏移。

2.2 載波頻率的影響

    假設兩個發送信號載波頻率差為Δw，則兩源節點A和B發送的信號分別為：

    從式(13)中得到，誤碼率和4個量有關系，分別是判決門限r₁和r₂、載波頻率偏移Δw、幀數k和采樣周期T。一般情況下取T=1，則誤碼率由r₁、r₂、Δw和k決定。

    當載波頻率偏移較小時，假定取則在SNR=5和SNR=10的條件下，可以得到幀數k對系統誤碼率的影響，如圖4所示。

    通過圖4可以得到，當載波頻率偏移比較小的時候，隨著幀數的增加，誤碼率逐漸提高，而且趨于一個常數。因此，在載波頻率偏移比較小的條件下，應盡量減少幀數，以降低系統誤碼率。當載波頻率偏移比較大的時候，需要把Δw·k作為整體考慮，將Δw·k的值整合到[0，π/2]之間，其對系統的影響和載波相位偏移對系統的影響相似。

2.3 符號偏移的影響

    假設兩個發送信號時間同步誤差為?Δt=εT(-1/2≤ε≤1/2)，則兩源節點A和B發送的信號分別為： 

    在中繼節點處對疊加信號乘以載波2cos(wt)，通過低通濾波器可以得到信號：

    由式(17)得到，時間不同步在降低了信號功率的同時，還引來了符號間干擾。

    為研究方便，取脈沖成形函數為升余弦滾降函數，即：

    在有符號偏移的情況下，物理層網絡編碼的映射關系如表2所示。

    使用和載波相位偏移類似的方法，得到：

    類似地可以推導出在符號相位偏移的條件下中繼節點接收信號的誤碼率公式：

    圖5是符號偏移ε分別為0、0.1、0.3和0.5條件下，信噪比對誤碼率的變化曲線?？梢缘玫剑涸谕恍旁氡认?，隨著符號偏移的增加，系統的誤碼率逐漸升高。當符號偏移為0.5個符號時，系統的誤碼率達到最高，與同步條件(ε=0)下的誤碼率相比，最大相差6 dB。

    圖6為符號偏移和信噪比的變化對誤碼率的影響結果。由于g(t)是偶函數，因此圖像關于ε=0對稱。通過和圖3對比可知，符號偏移對系統誤碼率的影響相對較小。

3 結論

    本文采用XOR映射方式首次從理論上分別得到載波相位偏移、載波頻率偏移、符號偏移與系統誤碼率的數學模型。通過仿真實驗可知，在同一信噪比下，隨著載波相位偏移的增加，系統的誤碼率逐漸增加，當相位偏移達到最大值90°時，系統的誤碼率趨于一個常數，不再隨信噪比變化。在載波頻率偏移條件下，當偏移較小時，幀長的增加也會引起系統誤碼率的增加，當偏移較大時，系統性能受頻率偏差和幀長共同作用。隨著符號偏移的增加，系統的誤碼率相對于同步條件下最大損失6 dB，相比于載波相位偏移損失較小。本文通過理論推導和仿真實驗，為后續的物理層網絡編碼工程誤差分析建立了理論參考基礎。

參考文獻

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