摘  要： 針對室內聲學非線性系統室內沖激響應快速檢測的問題，提出了一種基于連續指數正弦掃頻信號綜合檢測的方法。通過簡要介紹非線性系統Volterra模型后，著重闡述了作為激勵信號的連續指數正弦掃頻信號和實現非線性系統沖激響應快速檢測的基本原理和相關技術。最后，通過一個應用實例驗證了該方法的可行性和快速性。

　　關鍵詞： 非線性系統；沖激響應；連續指數掃頻信號；快速檢測

0 引言

　　在傳統的室內聲學沖激響應測量中，一般采用周期性脈沖[1]和最大長度序列[1-2]兩種檢測方法。然而，周期性脈沖測量不但測試時間長、信噪比差，而且由于激勵能量低而不能輸出非線性失真；而最大長度序列測量雖然改善了其信噪比，然而，其要求系統必須有良好的線性。因此，傳統的方法無法分離非線性系統的線性與非線性響應，基于以上的問題，本文提出了一種基于非線性系統的Volterra數學模型，采用連續指數正弦掃頻信號作為激勵信號，利用Hilbert-Huang變換技術和相關的逆濾波器技術實現快速簡捷的解決方法。

1 非線性系統的數學模型

　　室內聲學系統一般可認為信號先經過一個非線性系統，然后再在一個線性系統中傳輸，其原理框圖如圖1所示。

　　對于一個無記憶的非線性系統的特征可由N階Volterra核函數[3]KN（t）表示，非線性的系統響應如式（1）所示：

　　Farina[4-5]指出該模型下的非線性系統的全局響應可以由一個高斯白噪聲n（t）加上一系列的沖激響應hi（t）（hi（t）=ki（t）?茚h（t））和相應不同功率的輸入信號做卷積的結果組成。該模型下的全局響應如式（2）所示：

　　在實際應用中，這樣的系統不失一般性。然而，實踐中測量這種系統的各階沖激響應函數hi（t）往往又是非常耗時、困難和復雜的。下面將介紹一種通過采用特定的激勵信號測量和相關的技術處理，快速獲取系統各階沖激響應分布的方法。

2 系統信號源的選擇和沖激響應實現的相關技術

　　2.1 激勵信號的選擇

　　在測量方法中，既希望測量較寬的頻帶，又希望測量時間盡可能短，并且還希望在測量的頻率范圍內得到更為精確的結果。在傳統的測量中，主要選擇線性正弦掃頻信號和離散指數掃頻信號兩種信號作為激勵信號。線性正弦掃頻信號作為激勵信號，其頻率呈線性連續變化，在22 Hz~22 kHz的頻率范圍下測試，測試時間大概需要15 s；為縮短測量時間，S.Temme等[6]提出了離散指數掃頻信號，該信號頻率點以指數比率增長，該信號是以犧牲測量精度為代價，換取更短的測量時間，但是，在精度為1/24倍頻程下測試，測量時間也需要十多秒。

　　為了解決以上兩種信號在時間和精度上的問題，本文采用連續指數正弦掃頻信號作為激勵信號。該激勵信號的形式如式（3）所示：

　　其中，A為信號的幅度，（t）為信號的瞬時相位，T為信號掃頻的總時間，w1和w2分別為信號的起始頻率和終止頻率。

　　該激勵信號隨著時間的變化，其頻率呈指數連續增長，在1 s內從起始頻率20 Hz到終止頻率20 kHz的測量結果如圖2所示。

　　由圖2（a）可知，該激勵信號能在較短時間內連續測試頻率點，因此，得到的測量頻率更精確。結合圖2（b）和（c）可知，激勵信號隨著頻率的增加，能量降低。如圖2（c）所示，激勵信號的頻譜是一個粉紅譜，下文將介紹根據這樣的一個頻譜進行的幅度調制。另外，該激勵信號還有一個重要的特點，如下式（4）所示。

　　由上式可知，激勵信號某時刻頻率的N倍，等于該激勵信號頻率延時?駐t對應的頻率，即?駐t表示了N次諧波出現的時刻與基波之間的時間間隔。此時間間隔只與激勵信號的起始頻率、終止頻率、掃頻總時間和N有關。因此，由式（5）可以確定某時刻頻率的N次諧波出現的時刻。

　　2.2 沖激響應實現的基本原理

　　為了能夠實現快速檢測系統各階沖激響應，需要構造一個逆濾波器x′（t），它應滿足與激勵信號相卷積后，其結果為狄拉克函數δ（t）。再結合第1節非線性系統的描述，在連續指數正弦掃頻激勵下，非線性系統的沖激響應函數形式如式（6）所示：

　　其中，hi（t）表示第i階的沖激響應，?駐ti表示第i階的沖激響應與第1階沖激響應（即線性響應）之間的時間間隔，即上節介紹中的?駐t。由式（6）可知，由于連續指數掃頻信號和特定的逆濾波器的引入，一個復雜的非線性系統的線性沖激響應和各階非線性沖激響應以?駐ti的時間間隔被分開。另外，從某種意義上來說這一特定的逆濾波器也是后續系統另一種形式上的激勵信號，下一節將介紹這一特定的逆濾波器。

　　2.3 沖激響應實現的相關技術——逆濾波器的實現

　　由上節可知，逆濾波器的創建基于非線性失真響應和激勵信號。另外，考慮實際測量中，信號總是因果的，因此，還要求逆濾波器應是一個因果的、穩定的信號。根據參考文獻[7]中對創建逆濾波器的各種技術的分析，采用最簡單的最小二乘法技術求解逆濾波器。建立最小二乘法方程如式（7）所示：

　　[R]·{g}={k}（7）

　　其中，[R]矩陣為托普利茲矩陣，{g}為逆濾波器方程向量，{k}為系統響應函數方程向量。

　　另外，由于測量系統采用連續指數掃頻信號作為激勵信號，根據上節介紹的逆濾波器和激勵信號的關系，再結合上文介紹的連續指數掃頻信號隨著頻率的增加，能量不斷降低的情況，為補償其在低頻和高頻時能量的不一致，需要對逆濾波器進行幅度調制。采用Hilbert-Huang變換技術對激勵信號的頻譜幅值進行分析研究，根據其幅度包絡的特點在時域上對逆濾波器進行包絡調制。下面對連續指數正弦掃頻信號的頻譜進行分析。

　　對非線性、非平穩的連續指數掃頻激勵信號進行Hilbert-Huang變換，設激勵信號x（t）時域上的解析信號Zx（t）和頻譜Zx（f）分別為：

　　其中，H[x（t）]是x（t）的希爾伯特變換，ax（t）和x（t）分別為激勵信號的瞬時幅值和瞬時相位，Ax（f）為激勵信號頻譜的幅值。

　　設激勵信號的時域幅值ax（t）=1，由2.1節介紹的激勵信號的瞬時相位，對其進行兩次求導，再結合參考文獻[8]中公式：

　　可得激勵信號的頻譜幅值為：

　　其中，fi為激勵信號的瞬時頻率，，連續正弦掃頻信號頻域的幅度沿頻率分布的情況如圖3所示。

　　結合圖3和式（11）可知，激勵信號的頻譜幅值是一個粉紅譜，Ax（f）正比，頻率越低，激勵信號幅值越大。從能量的角度來看，激勵信號的能量從低頻向高頻不斷衰減，與2.1節中圖2（c）介紹的激勵信號的頻譜幅值變化相一致。

　　根據激勵信號頻譜幅值隨頻率變化的特點，在時域上對逆濾波器進行幅度調制，求得的逆濾波器時域波形圖和頻譜如圖4所示。

3 應用實例

　　為了驗證上述方法的有效性和快速性，將其用于揚聲器系統的沖激響應測量。揚聲器系統測試基本框圖如圖5所示。

　　計算機產生激勵信號經功放后加載到具有非線性特性的揚聲器，揚聲器產生的聲場隨后經過空間線性傳播由傳送器接收，接收到的信號經陰極輸出器輸入計算機，計算機讀取其數據，然后進行分析、處理。

　　采用起始頻率為20 Hz、終止頻率為20 kHz、掃頻時間為1 s的連續指數掃頻信號作為激勵信號對揚聲器系統進行測試，將系統響應結果與上述的逆濾波器進行卷積后，經數據處理，得到的揚聲器系統的各階沖激響應測量結果如圖6所示。

　　圖7（a）是連續指數正弦掃頻信號激勵法下的沖激響應測量結果圖，圖7（b）和（c）分別為最大長度序列法和周期性脈沖法在室內揚聲器系統下測量的沖激響應結果圖[9]。結合圖6、圖7和參考文獻[9]可知，連續指數正弦掃頻信號激勵法的最大特點是能夠實現對非線性系統各階沖激響應的快速檢測，而最大長度序列法和周期性脈沖法無法將非線性系統中的線性與非線性響應部分分離開來。

　　由上述可知，圖6中從右邊開始最高幅值的是1階沖激響應即線性響應，依次向左分別為2階、3階、4階等更高階的沖激響應。它們以?駐ti的時間間隔依次被分隔開來，其中?駐ti可由上述推導的式（5）所求得，實現了對非線性系統各階沖激響應的快速檢測。

　　此外，從圖6測量結果中可看出，系統響應的噪聲在首尾處較大，這是由于激勵信號在首尾處由于信號幅度的突變而產生高頻能量造成的，為改善系統在首尾處產生的噪聲，可以對激勵信號進行加窗處理。

4 結論

　　本文從理論上對室內聲學非線性系統和作為激勵信號的連續指數正弦掃頻信號、逆濾波器的特性進行了分析研究，通過運用上述方法對具有非線性特性的揚聲器系統進行實際測試，揚聲器系統的線性沖激響應和各階非線性沖激響應被快速地測量出來，實現了對非線性系統各階沖激響應的快速檢測。

參考文獻

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