摘 要： 在介紹基本CORDIC" title="CORDIC">CORDIC算法原理的基礎上，介紹了其改進的并行算法原理。對并行CORDIC算法進行了詳細敘述，并且使用Verilog HDL描述了該算法。通過模塊復用，并且采用兩相門控時鐘等方法，節省了FPGA" title="FPGA">FPGA資源，保持了信號的同步性。最后在Quartus II下進行了綜合、仿真，取得了良好的仿真結果。
關鍵詞： CORDIC BBR" title="BBR">BBR MAR" title="MAR">MAR FPGA
CORDIC(Coordinated Rotation Digital Computer)，即協調旋轉數字計算機，可廣泛應用于基本函數的計算，如DSP、FFT、DCT等技術函數的計算。CORDIC算法是Jack Volder于1959年首先提出的。為了擴展可解決的基本函數個數，J.Walter于1971年提出了統一的CORDIC算法(The Unified Cordic Algorithms)；2004年，Tso-Bing Juang等又提出了一種改進的并行的CORDIC算法，該改進的算法主要運用BBR(Binary-To-Bipolar Recoding)和MAR(Microrotation Angle Recoding)，大大提高了CORDIC算法的迭代速度，并且達到了很高的精度。隨著可編程邏輯器件規模的增大和應用范圍的擴大，使得利用硬件電路實現該算法成為可能并具有良好的應用價值。
1 CORDIC算法原理
CORDIC算法可分為旋轉(rotation)和定向(vectoring)兩種方式，還可分為圓形坐標、雙曲線坐標和線形坐標三種方式，圓形坐標下旋轉方式的原理公式如下：
式中，{xi,yi}和{xi+1,yi+1}分別表示旋轉前后的向量，σi∈{-1,1}表示每次旋轉的方向。
從公式可知，該運算只有移位和相加(相減)運算。為了獲得σi的值，需另設一個變量zi表示每次旋轉后的角度與目標角度的差值，然后利用公式zi+1=zi-σi·arctan(2-i)進行計算。根據Jack Volder的推導，經過n次迭代，最終可以得到迭代公式如下：
通過上面的算法介紹可以看出，每次都要先通過計算zi+1和zi才能得到σi的值，這樣降低了運算速度。參考文獻[3]就是在此基礎上，提出了一種提前算出σi的方法，使得速度得以提高。
2 并行CORDIC算法原理
把需要旋轉的角度θ范圍限定在[-π/4～π/4]之間，并把它分解成下式：
3 利用FPGA實現算法
利用FPGA實現算法時,采用32位精度，即B=32。根據m計算公式可以計算出m=11。根據輸入的θ值和公式(6)，可以計算出前11個σ值。根據已經計算出的表1可得出
。
再根據公式(8)，(9)計算出剩下的σ值。經過移位器，加法器最終可以得到旋轉后的向量坐標。
根據上述原理，需要移位40次。所以可通過反復調用圖1所示的模塊來節約資源。
對于本算法，第i+1個模塊的輸入為第i個模塊的輸出，因此，對模塊的工作時序有一定的要求。針對FPGA中寄存器資源較為豐富的特點，在上述模塊的輸入輸出端分別加入寄存器，對輸入和輸出進行鎖存;使用兩個進程描述移位加法和控制信號，并且使用不同的時鐘信號作為敏感信號;為了保持整個設計的同步性，又采用了兩相門控時鐘進行控制(如圖2所示)。圖中clk_in作為輸入寄存器的時鐘，而clk_out作為輸出寄存器的時鐘。
兩相門控時鐘生成的相關程序如下：
always @(cnt)
begin
case (cnt)
2′d0: {clk_out,clk_in}=2′b01;
2′d1: {clk_out,clk_in}=2′b10;
2′d2: {clk_out,clk_in}=2′b00;
default:{clk_out,clk_in}=2′b00;
endcase
end
4 仿真結果
本文在Quartus II環境下對利用Verilog編寫的RTL代碼進行了綜合，使用了115個LAB。由于在一片FPGA芯片中可集成其他相關模塊，在系統設計中具有良好的應用價值。對其進行時序分析，本設計可達到的最大時鐘為58MHz，滿足高速系統設計的要求。
圖3是在Quartus II下以初始角度0度、旋轉角度30度為例的一個仿真結果，經過118個時鐘周期后可以得到旋轉后的正弦值和余弦值。
通過理論分析及仿真實驗結果可以看出，這種新的并行CORDIC算法在FPGA上實現具有可行性。算法中旋轉方向的優先判斷，使得運算速度大大提高。與以往在FPGA上實現原始的CORDIC算法相比，具有更高的速度和準確性。
參考文獻
1 JACK E.VOLDER.The CORDIC Trigonometric Computing Technique. IRE Trans.ElectronicComputing,1959; EC-8:330～334
2 J.Walther. A unified algorithm for elementary functions.Spring Joint Computer Conf.,1971：379～385
3 Tso-Bing Juang,Shen-Fu,Ming-Yu Tsai.Para-CORDIC: Parallel CORDIC Rotation Algorithm. IEEE,2004;51(8)
4 J.Bhasker(著)，孫海平(譯).Verilog 綜合實用教程.北京：清華大學出版社，2004
5 Uwe Meyer-Baese(著)，劉 凌，胡永生(譯). 數字信號處理的FPGA實現[M]. 北京：清華大學出版社，2003:55～63